Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 122944 / 90176
↖ ↑ ↗
← S 55.875311°
E157.675781°		 ← 171.34 m → S 55.875311°
E157.678528°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
S 55.876852°
E157.675781°		 ← 171.34 m →
29 364 m²		 S 55.876852°
E157.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 122944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937992095947266 y=0.687992095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937992095947266 × 217)
    floor (0.937992095947266 × 131072)
    floor (122944.5)     		tx = 122944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687992095947266 × 217)
    floor (0.687992095947266 × 131072)
    floor (90176.5)     		ty = 90176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 122944 / 90176 ti = "17/122944/90176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/122944/90176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 122944 ÷ 217
    122944 ÷ 131072     		x = 0.93798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90176 ÷ 217
    90176 ÷ 131072     		y = 0.68798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93798828125 × 2 - 1) × π
    0.8759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.75196153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    -0.3759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18116520663818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75196153} λ = 2.75196153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18116520663818))-π/2
    2×atan(0.306920903891316)-π/2
    2×0.297794091077831-π/2
    0.595588182155663-1.57079632675     		φ = -0.97520814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75196153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97520814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 122944 KachelY 90176 2.75196153 -0.97520814 157.675781 -55.875311
    Oben rechts KachelX + 1 122945 KachelY 90176 2.75200947 -0.97520814 157.678528 -55.875311
    Unten links KachelX 122944 KachelY + 1 90177 2.75196153 -0.97523504 157.675781 -55.876852
    Unten rechts KachelX + 1 122945 KachelY + 1 90177 2.75200947 -0.97523504 157.678528 -55.876852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97520814--0.97523504) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dl = 171.379900000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97520814--0.97523504) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dr = 171.379900000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75196153-2.75200947) × cos(-0.97520814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560995763524048 × 6371000     		do = 171.342546211085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75196153-2.75200947) × cos(-0.97523504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56097349499881 × 6371000     		du = 171.335744830285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97520814)-sin(-0.97523504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560995763524048-0.56097349499881)×R²
    abs(2.75200947-2.75196153)×2.22685252386778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22685252386778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22685252386778e-05×40589641000000     		ar = 29364.0856271776m²