Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 124 / 93
↖ ↑ ↗
← N 44.087585°
W  5.625000°		 ← 112.315 km → N 44.087585°
W  4.218750°		 →
↑
113.274 km
↓
↑
113.274 km
↓
N 43.068888°
W  5.625000°		 ← 114.232 km →
12 831.3 km²		 N 43.068888°
W  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486328125 y=0.365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486328125 × 28)
    floor (0.486328125 × 256)
    floor (124.5)     		tx = 124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365234375 × 28)
    floor (0.365234375 × 256)
    floor (93.5)     		ty = 93
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 124 / 93 ti = "8/124/93"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/124/93.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124 ÷ 28
    124 ÷ 256     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93 ÷ 28
    93 ÷ 256     		y = 0.36328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36328125 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859029241191406))-π/2
    2×atan(2.36086774777506)-π/2
    2×1.17013492238655-π/2
    2.3402698447731-1.57079632675     		φ = 0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124 KachelY 93 -0.09817477 0.76947352 -5.625000 44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 125 KachelY 93 -0.07363108 0.76947352 -4.218750 44.087585
    Unten links KachelX 124 KachelY + 1 94 -0.09817477 0.75169390 -5.625000 43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 125 KachelY + 1 94 -0.07363108 0.75169390 -4.218750 43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76947352-0.75169390) × R
    0.01777962 × 6371000     		dl = 113273.95902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76947352-0.75169390) × R
    0.01777962 × 6371000     		dr = 113273.95902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.07363108) × cos(0.76947352) × R
    0.02454369 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 112315.440630336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.07363108) × cos(0.75169390) × R
    0.02454369 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 114231.903819788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76947352)-sin(0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.730533191814215)×R²
    abs(-0.07363108--0.09817477)×0.0122561204354351×R²
    0.02454369×0.0122561204354351×6371000²
    0.02454369×0.0122561204354351×40589641000000     		ar = 12831295321.0704m²