Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12421 / 20613
↖ ↑ ↗
← S 42.073762°
W 43.538818°		 ← 906.75 m → S 42.073762°
W 43.527832°		 →
↑
906.72 m
↓
↑
906.72 m
↓
S 42.081917°
W 43.538818°		 ← 906.64 m →
822 120 m²		 S 42.081917°
W 43.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379074096679688 y=0.629074096679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379074096679688 × 215)
    floor (0.379074096679688 × 32768)
    floor (12421.5)     		tx = 12421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629074096679688 × 215)
    floor (0.629074096679688 × 32768)
    floor (20613.5)     		ty = 20613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12421 / 20613 ti = "15/12421/20613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12421/20613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12421 ÷ 215
    12421 ÷ 32768     		x = 0.379058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20613 ÷ 215
    20613 ÷ 32768     		y = 0.629058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.24188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75989573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.25811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.81090059397287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75989573} λ = -0.75989573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81090059397287))-π/2
    2×atan(0.444457610080979)-π/2
    2×0.418235323510657-π/2
    0.836470647021314-1.57079632675     		φ = -0.73432568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75989573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.538818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73432568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.073762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12421 KachelY 20613 -0.75989573 -0.73432568 -43.538818 -42.073762
    Oben rechts KachelX + 1 12422 KachelY 20613 -0.75970399 -0.73432568 -43.527832 -42.073762
    Unten links KachelX 12421 KachelY + 1 20614 -0.75989573 -0.73446800 -43.538818 -42.081917
    Unten rechts KachelX + 1 12422 KachelY + 1 20614 -0.75970399 -0.73446800 -43.527832 -42.081917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73432568--0.73446800) × R
    0.000142320000000029 × 6371000     		dl = 906.720720000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73432568--0.73446800) × R
    0.000142320000000029 × 6371000     		dr = 906.720720000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75989573--0.75970399) × cos(-0.73432568) × R
    0.000191739999999996 × 0.742282775040866 × 6371000     		do = 906.754481753224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75989573--0.75970399) × cos(-0.73446800) × R
    0.000191739999999996 × 0.742187400774348 × 6371000     		du = 906.637974882101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73432568)-sin(-0.73446800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742282775040866-0.742187400774348)×R²
    abs(-0.75970399--0.75989573)×9.53742665174007e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53742665174007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53742665174007e-05×40589641000000     		ar = 822120.258348916m²