Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12456 / 20648
↖ ↑ ↗
← S 42.358544°
W 43.154297°		 ← 902.72 m → S 42.358544°
W 43.143311°		 →
↑
902.64 m
↓
↑
902.64 m
↓
S 42.366662°
W 43.154297°		 ← 902.61 m →
814 783 m²		 S 42.366662°
W 43.143311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380142211914062 y=0.630142211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380142211914062 × 215)
    floor (0.380142211914062 × 32768)
    floor (12456.5)     		tx = 12456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630142211914062 × 215)
    floor (0.630142211914062 × 32768)
    floor (20648.5)     		ty = 20648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12456 / 20648 ti = "15/12456/20648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12456/20648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12456 ÷ 215
    12456 ÷ 32768     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20648 ÷ 215
    20648 ÷ 32768     		y = 0.630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    -0.26025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817611759919678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817611759919678))-π/2
    2×atan(0.441484768079403)-π/2
    2×0.415750134550612-π/2
    0.831500269101224-1.57079632675     		φ = -0.73929606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73929606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.358544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12456 KachelY 20648 -0.75318457 -0.73929606 -43.154297 -42.358544
    Oben rechts KachelX + 1 12457 KachelY 20648 -0.75299282 -0.73929606 -43.143311 -42.358544
    Unten links KachelX 12456 KachelY + 1 20649 -0.75318457 -0.73943774 -43.154297 -42.366662
    Unten rechts KachelX + 1 12457 KachelY + 1 20649 -0.75299282 -0.73943774 -43.143311 -42.366662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73929606--0.73943774) × R
    0.000141679999999922 × 6371000     		dl = 902.643279999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73929606--0.73943774) × R
    0.000141679999999922 × 6371000     		dr = 902.643279999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75299282) × cos(-0.73929606) × R
    0.000191750000000046 × 0.738943033955681 × 6371000     		do = 902.721813794559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75299282) × cos(-0.73943774) × R
    0.000191750000000046 × 0.738847567102445 × 6371000     		du = 902.605187739573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73929606)-sin(-0.73943774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738943033955681-0.738847567102445)×R²
    abs(-0.75299282--0.75318457)×9.54668532351377e-05×R²
    0.000191750000000046×9.54668532351377e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.54668532351377e-05×40589641000000     		ar = 814783.144431851m²