Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12810 / 21002
↖ ↑ ↗
← S 45.166547°
W 39.265137°		 ← 861.31 m → S 45.166547°
W 39.254150°		 →
↑
861.23 m
↓
↑
861.23 m
↓
S 45.174292°
W 39.265137°		 ← 861.20 m →
741 741 m²		 S 45.174292°
W 39.254150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390945434570312 y=0.640945434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390945434570312 × 215)
    floor (0.390945434570312 × 32768)
    floor (12810.5)     		tx = 12810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640945434570312 × 215)
    floor (0.640945434570312 × 32768)
    floor (21002.5)     		ty = 21002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12810 / 21002 ti = "15/12810/21002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12810/21002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12810 ÷ 215
    12810 ÷ 32768     		x = 0.39093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21002 ÷ 215
    21002 ÷ 32768     		y = 0.64093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68530592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885490409781677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68530592} λ = -0.68530592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885490409781677))-π/2
    2×atan(0.412511823832566)-π/2
    2×0.391245683575433-π/2
    0.782491367150866-1.57079632675     		φ = -0.78830496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68530592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.265137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78830496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.166547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12810 KachelY 21002 -0.68530592 -0.78830496 -39.265137 -45.166547
    Oben rechts KachelX + 1 12811 KachelY 21002 -0.68511417 -0.78830496 -39.254150 -45.166547
    Unten links KachelX 12810 KachelY + 1 21003 -0.68530592 -0.78844014 -39.265137 -45.174292
    Unten rechts KachelX + 1 12811 KachelY + 1 21003 -0.68511417 -0.78844014 -39.254150 -45.174292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78830496--0.78844014) × R
    0.000135179999999901 × 6371000     		dl = 861.231779999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78830496--0.78844014) × R
    0.000135179999999901 × 6371000     		dr = 861.231779999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68530592--0.68511417) × cos(-0.78830496) × R
    0.000191750000000046 × 0.705048381156457 × 6371000     		do = 861.314775569895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68530592--0.68511417) × cos(-0.78844014) × R
    0.000191750000000046 × 0.704952510573311 × 6371000     		du = 861.197656302603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78830496)-sin(-0.78844014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705048381156457-0.704952510573311)×R²
    abs(-0.68511417--0.68530592)×9.58705831463069e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58705831463069e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58705831463069e-05×40589641000000     		ar = 741741.225015823m²