Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12863 / 21057
↖ ↑ ↗
← S 45.590978°
W 38.682861°		 ← 854.83 m → S 45.590978°
W 38.671875°		 →
↑
854.80 m
↓
↑
854.80 m
↓
S 45.598666°
W 38.682861°		 ← 854.71 m →
730 655 m²		 S 45.598666°
W 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392562866210938 y=0.642623901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392562866210938 × 215)
    floor (0.392562866210938 × 32768)
    floor (12863.5)     		tx = 12863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642623901367188 × 215)
    floor (0.642623901367188 × 32768)
    floor (21057.5)     		ty = 21057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12863 / 21057 ti = "15/12863/21057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12863/21057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12863 ÷ 215
    12863 ÷ 32768     		x = 0.392547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21057 ÷ 215
    21057 ÷ 32768     		y = 0.642608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.21490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.67514329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89603652769809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67514329} λ = -0.67514329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89603652769809))-π/2
    2×atan(0.408184284973278)-π/2
    2×0.387541823577381-π/2
    0.775083647154761-1.57079632675     		φ = -0.79571268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67514329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.682861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79571268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.590978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12863 KachelY 21057 -0.67514329 -0.79571268 -38.682861 -45.590978
    Oben rechts KachelX + 1 12864 KachelY 21057 -0.67495155 -0.79571268 -38.671875 -45.590978
    Unten links KachelX 12863 KachelY + 1 21058 -0.67514329 -0.79584685 -38.682861 -45.598666
    Unten rechts KachelX + 1 12864 KachelY + 1 21058 -0.67495155 -0.79584685 -38.671875 -45.598666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79571268--0.79584685) × R
    0.000134170000000045 × 6371000     		dl = 854.797070000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79571268--0.79584685) × R
    0.000134170000000045 × 6371000     		dr = 854.797070000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67514329--0.67495155) × cos(-0.79571268) × R
    0.000191739999999996 × 0.699775831928357 × 6371000     		do = 854.829039766814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67514329--0.67495155) × cos(-0.79584685) × R
    0.000191739999999996 × 0.69967997961314 × 6371000     		du = 854.711948923091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79571268)-sin(-0.79584685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699775831928357-0.69967997961314)×R²
    abs(-0.67495155--0.67514329)×9.58523152179147e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58523152179147e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58523152179147e-05×40589641000000     		ar = 730655.315184975m²