Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12864 / 21055
↖ ↑ ↗
← S 45.575600°
W 38.671875°		 ← 855.11 m → S 45.575600°
W 38.660889°		 →
↑
855.05 m
↓
↑
855.05 m
↓
S 45.583290°
W 38.671875°		 ← 854.99 m →
731 112 m²		 S 45.583290°
W 38.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392593383789062 y=0.642562866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392593383789062 × 215)
    floor (0.392593383789062 × 32768)
    floor (12864.5)     		tx = 12864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642562866210938 × 215)
    floor (0.642562866210938 × 32768)
    floor (21055.5)     		ty = 21055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12864 / 21055 ti = "15/12864/21055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12864/21055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12864 ÷ 215
    12864 ÷ 32768     		x = 0.392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21055 ÷ 215
    21055 ÷ 32768     		y = 0.642547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392578125 × 2 - 1) × π
    -0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.28509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895653032501129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67495155} λ = -0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895653032501129))-π/2
    2×atan(0.408340851705416)-π/2
    2×0.387676022292403-π/2
    0.775352044584807-1.57079632675     		φ = -0.79544428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79544428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.575600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12864 KachelY 21055 -0.67495155 -0.79544428 -38.671875 -45.575600
    Oben rechts KachelX + 1 12865 KachelY 21055 -0.67475980 -0.79544428 -38.660889 -45.575600
    Unten links KachelX 12864 KachelY + 1 21056 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 12865 KachelY + 1 21056 -0.67475980 -0.79557849 -38.660889 -45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79544428--0.79557849) × R
    0.000134210000000023 × 6371000     		dl = 855.05191000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79544428--0.79557849) × R
    0.000134210000000023 × 6371000     		dr = 855.05191000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67495155--0.67475980) × cos(-0.79544428) × R
    0.000191749999999935 × 0.699967541616318 × 6371000     		do = 855.107822564213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67495155--0.67475980) × cos(-0.79557849) × R
    0.000191749999999935 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 854.990721497756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79544428)-sin(-0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699967541616318-0.699871685931871)×R²
    abs(-0.67475980--0.67495155)×9.58556844476988e-05×R²
    0.000191749999999935×9.58556844476988e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.58556844476988e-05×40589641000000     		ar = 731111.51429194m²