Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 132 / 85
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  5.625000°		 ← 97.089 km → N 51.618016°
E  7.031250°		 →
↑
98.025 km
↓
↑
98.025 km
↓
N 50.736455°
E  5.625000°		 ← 98.963 km →
9 609.22 km²		 N 50.736455°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517578125 y=0.333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517578125 × 28)
    floor (0.517578125 × 256)
    floor (132.5)     		tx = 132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333984375 × 28)
    floor (0.333984375 × 256)
    floor (85.5)     		ty = 85
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 132 / 85 ti = "8/132/85"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/132/85.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 132 ÷ 28
    132 ÷ 256     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85 ÷ 28
    85 ÷ 256     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 132 KachelY 85 0.09817477 0.90090434 5.625000 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 133 KachelY 85 0.12271846 0.90090434 7.031250 51.618016
    Unten links KachelX 132 KachelY + 1 86 0.09817477 0.88551819 5.625000 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 133 KachelY + 1 86 0.12271846 0.88551819 7.031250 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.88551819) × R
    0.01538615 × 6371000     		dl = 98025.1616499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.88551819) × R
    0.01538615 × 6371000     		dr = 98025.1616499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(0.90090434) × R
    0.02454369 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 97089.0038940972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.12271846) × cos(0.88551819) × R
    0.02454369 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 98963.3948617672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.632888381473458)×R²
    abs(0.12271846-0.09817477)×0.0119870611495709×R²
    0.02454369×0.0119870611495709×6371000²
    0.02454369×0.0119870611495709×40589641000000     		ar = 9609223609.5559m²