Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 137 / 88
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E 12.656250°		 ← 102.746 km → N 48.922499°
E 14.062500°		 →
↑
103.698 km
↓
↑
103.698 km
↓
N 47.989922°
E 12.656250°		 ← 104.651 km →
10 753.6 km²		 N 47.989922°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.537109375 y=0.345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.537109375 × 28)
    floor (0.537109375 × 256)
    floor (137.5)     		tx = 137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345703125 × 28)
    floor (0.345703125 × 256)
    floor (88.5)     		ty = 88
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 137 / 88 ti = "8/137/88"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/137/88.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 137 ÷ 28
    137 ÷ 256     		x = 0.53515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88 ÷ 28
    88 ÷ 256     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53515625 × 2 - 1) × π
    0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22089323} λ = 0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 137 KachelY 88 0.22089323 0.85385869 12.656250 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 138 KachelY 88 0.24543693 0.85385869 14.062500 48.922499
    Unten links KachelX 137 KachelY + 1 89 0.22089323 0.83758214 12.656250 47.989922
    Unten rechts KachelX + 1 138 KachelY + 1 89 0.24543693 0.83758214 14.062500 47.989922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.83758214) × R
    0.0162765500000001 × 6371000     		dl = 103697.90005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.83758214) × R
    0.0162765500000001 × 6371000     		dr = 103697.90005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(0.85385869) × R
    0.0245437 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 102746.115725449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22089323-0.24543693) × cos(0.83758214) × R
    0.0245437 × 0.669261315892548 × 6371000     		du = 104650.995016973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.83758214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.669261315892548)×R²
    abs(0.24543693-0.22089323)×0.0121820343997202×R²
    0.0245437×0.0121820343997202×6371000²
    0.0245437×0.0121820343997202×40589641000000     		ar = 10753559839.466m²