Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 141 / 84
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
E 18.281250°		 ← 95.228 km → N 52.482780°
E 19.687500°		 →
↑
96.157 km
↓
↑
96.157 km
↓
N 51.618016°
E 18.281250°		 ← 97.089 km →
9 246.53 km²		 N 51.618016°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552734375 y=0.330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552734375 × 28)
    floor (0.552734375 × 256)
    floor (141.5)     		tx = 141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330078125 × 28)
    floor (0.330078125 × 256)
    floor (84.5)     		ty = 84
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 141 / 84 ti = "8/141/84"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/141/84.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 141 ÷ 28
    141 ÷ 256     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84 ÷ 28
    84 ÷ 256     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 141 KachelY 84 0.31906800 0.91599732 18.281250 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 142 KachelY 84 0.34361170 0.91599732 19.687500 52.482780
    Unten links KachelX 141 KachelY + 1 85 0.31906800 0.90090434 18.281250 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 142 KachelY + 1 85 0.34361170 0.90090434 19.687500 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.90090434) × R
    0.01509298 × 6371000     		dl = 96157.3755800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.90090434) × R
    0.01509298 × 6371000     		dr = 96157.3755800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.34361170) × cos(0.91599732) × R
    0.0245437 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 95228.0328430021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.34361170) × cos(0.90090434) × R
    0.0245437 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 97089.0434517203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.620901320323887)×R²
    abs(0.34361170-0.31906800)×0.0119014865427581×R²
    0.0245437×0.0119014865427581×6371000²
    0.0245437×0.0119014865427581×40589641000000     		ar = 9246528196.94676m²