Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1412 / 900
↖ ↑ ↗
← N 21.289374°
E 68.203125°		 ← 18.212 km → N 21.289374°
E 68.378906°		 →
↑
18.222 km
↓
↑
18.222 km
↓
N 21.125498°
E 68.203125°		 ← 18.232 km →
332.051 km²		 N 21.125498°
E 68.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689697265625 y=0.439697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689697265625 × 211)
    floor (0.689697265625 × 2048)
    floor (1412.5)     		tx = 1412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439697265625 × 211)
    floor (0.439697265625 × 2048)
    floor (900.5)     		ty = 900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1412 / 900 ti = "11/1412/900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1412/900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1412 ÷ 211
    1412 ÷ 2048     		x = 0.689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 900 ÷ 211
    900 ÷ 2048     		y = 0.439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689453125 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19036909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439453125 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19036909} λ = 1.19036909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380427235384766))-π/2
    2×atan(1.46290946262789)-π/2
    2×0.971183002492088-π/2
    1.94236600498418-1.57079632675     		φ = 0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19036909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1412 KachelY 900 1.19036909 0.37156968 68.203125 21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 1413 KachelY 900 1.19343705 0.37156968 68.378906 21.289374
    Unten links KachelX 1412 KachelY + 1 901 1.19036909 0.36870949 68.203125 21.125498
    Unten rechts KachelX + 1 1413 KachelY + 1 901 1.19343705 0.36870949 68.378906 21.125498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37156968-0.36870949) × R
    0.00286019000000004 × 6371000     		dl = 18222.2704900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37156968-0.36870949) × R
    0.00286019000000004 × 6371000     		dr = 18222.2704900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19036909-1.19343705) × cos(0.37156968) × R
    0.00306796000000009 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 18212.1281327487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19036909-1.19343705) × cos(0.36870949) × R
    0.00306796000000009 × 0.932793237451247 × 6371000     		du = 18232.3515830521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37156968)-sin(0.36870949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.932793237451247)×R²
    abs(1.19343705-1.19036909)×0.0010346607016144×R²
    0.00306796000000009×0.0010346607016144×6371000²
    0.00306796000000009×0.0010346607016144×40589641000000     		ar = 332050809.991334m²