Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14352 / 10256
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
W 22.324219°		 ← 688.82 m → N 55.677585°
W 22.313232°		 →
↑
688.90 m
↓
↑
688.90 m
↓
N 55.671389°
W 22.324219°		 ← 688.93 m →
474 563 m²		 N 55.671389°
W 22.313232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438003540039062 y=0.313003540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438003540039062 × 215)
    floor (0.438003540039062 × 32768)
    floor (14352.5)     		tx = 14352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313003540039062 × 215)
    floor (0.313003540039062 × 32768)
    floor (10256.5)     		ty = 10256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14352 / 10256 ti = "15/14352/10256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14352/10256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14352 ÷ 215
    14352 ÷ 32768     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10256 ÷ 215
    10256 ÷ 32768     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14352 KachelY 10256 -0.38963112 0.97175717 -22.324219 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 14353 KachelY 10256 -0.38943937 0.97175717 -22.313232 55.677585
    Unten links KachelX 14352 KachelY + 1 10257 -0.38963112 0.97164904 -22.324219 55.671389
    Unten rechts KachelX + 1 14353 KachelY + 1 10257 -0.38943937 0.97164904 -22.313232 55.671389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97164904) × R
    0.000108129999999984 × 6371000     		dl = 688.896229999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97164904) × R
    0.000108129999999984 × 6371000     		dr = 688.896229999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38943937) × cos(0.97175717) × R
    0.000191749999999991 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 688.820307393622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38943937) × cos(0.97164904) × R
    0.000191749999999991 × 0.563938493621496 × 6371000     		du = 688.929398393861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97164904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.563938493621496)×R²
    abs(-0.38943937--0.38963112)×8.92988664524808e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92988664524808e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92988664524808e-05×40589641000000     		ar = 474563.289562357m²