Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14368 / 10272
↖ ↑ ↗
← N 55.578345°
W 22.148438°		 ← 690.57 m → N 55.578345°
W 22.137451°		 →
↑
690.62 m
↓
↑
690.62 m
↓
N 55.572134°
W 22.148438°		 ← 690.68 m →
476 954 m²		 N 55.572134°
W 22.137451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438491821289062 y=0.313491821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438491821289062 × 215)
    floor (0.438491821289062 × 32768)
    floor (14368.5)     		tx = 14368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313491821289062 × 215)
    floor (0.313491821289062 × 32768)
    floor (10272.5)     		ty = 10272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14368 / 10272 ti = "15/14368/10272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14368/10272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14368 ÷ 215
    14368 ÷ 32768     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10272 ÷ 215
    10272 ÷ 32768     		y = 0.3134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3134765625 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17196132191113))-π/2
    2×atan(3.22831820449576)-π/2
    2×1.27041071705689-π/2
    2.54082143411379-1.57079632675     		φ = 0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14368 KachelY 10272 -0.38656316 0.97002511 -22.148438 55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 14369 KachelY 10272 -0.38637141 0.97002511 -22.137451 55.578345
    Unten links KachelX 14368 KachelY + 1 10273 -0.38656316 0.96991671 -22.148438 55.572134
    Unten rechts KachelX + 1 14369 KachelY + 1 10273 -0.38637141 0.96991671 -22.137451 55.572134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97002511-0.96991671) × R
    0.000108400000000008 × 6371000     		dl = 690.616400000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97002511-0.96991671) × R
    0.000108400000000008 × 6371000     		dr = 690.616400000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38637141) × cos(0.97002511) × R
    0.000191749999999991 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 690.566791386834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38637141) × cos(0.96991671) × R
    0.000191749999999991 × 0.565368233930534 × 6371000     		du = 690.676025272688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97002511)-sin(0.96991671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.565368233930534)×R²
    abs(-0.38637141--0.38656316)×8.94158286536273e-05×R²
    0.000191749999999991×8.94158286536273e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.94158286536273e-05×40589641000000     		ar = 476954.47125134m²