Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 15 / 113
↖ ↑ ↗
← S 79.687184°
W137.812500°		 ← 55.987 km → S 79.687184°
W135.000000°		 →
↑
54.656 km
↓
↑
54.656 km
↓
S 80.178713°
W137.812500°		 ← 53.345 km →
2 987.81 km²		 S 80.178713°
W135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12109375 y=0.88671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12109375 × 27)
    floor (0.12109375 × 128)
    floor (15.5)     		tx = 15
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88671875 × 27)
    floor (0.88671875 × 128)
    floor (113.5)     		ty = 113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 15 / 113 ti = "7/15/113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/15/113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15 ÷ 27
    15 ÷ 128     		x = 0.1171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 113 ÷ 27
    113 ÷ 128     		y = 0.8828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1171875 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8828125 × 2 - 1) × π
    -0.765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40528187533594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40528188} λ = -2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40528187533594))-π/2
    2×atan(0.0902400555785128)-π/2
    2×0.0899962958339908-π/2
    0.179992591667982-1.57079632675     		φ = -1.39080374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39080374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.687184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15 KachelY 113 -2.40528188 -1.39080374 -137.812500 -79.687184
    Oben rechts KachelX + 1 16 KachelY 113 -2.35619449 -1.39080374 -135.000000 -79.687184
    Unten links KachelX 15 KachelY + 1 114 -2.40528188 -1.39938254 -137.812500 -80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 16 KachelY + 1 114 -2.35619449 -1.39938254 -135.000000 -80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39080374--1.39938254) × R
    0.0085788 × 6371000     		dl = 54655.5348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39080374--1.39938254) × R
    0.0085788 × 6371000     		dr = 54655.5348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40528188--2.35619449) × cos(-1.39080374) × R
    0.04908739 × 0.179022279985821 × 6371000     		do = 55986.669090846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40528188--2.35619449) × cos(-1.39938254) × R
    0.04908739 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 53345.0858920146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39080374)-sin(-1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179022279985821-0.170575586251288)×R²
    abs(-2.35619449--2.40528188)×0.00844669373453311×R²
    0.04908739×0.00844669373453311×6371000²
    0.04908739×0.00844669373453311×40589641000000     		ar = 2987811093.82568m²