Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 152 / 72
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
E 33.750000°		 ← 74.357 km → N 61.606397°
E 35.156250°		 →
↑
75.164 km
↓
↑
75.164 km
↓
N 60.930432°
E 33.750000°		 ← 75.975 km →
5 649.81 km²		 N 60.930432°
E 35.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595703125 y=0.283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595703125 × 28)
    floor (0.595703125 × 256)
    floor (152.5)     		tx = 152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283203125 × 28)
    floor (0.283203125 × 256)
    floor (72.5)     		ty = 72
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 152 / 72 ti = "8/152/72"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/152/72.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 152 ÷ 28
    152 ÷ 256     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72 ÷ 28
    72 ÷ 256     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 152 KachelY 72 0.58904862 1.07523446 33.750000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 153 KachelY 72 0.61359232 1.07523446 35.156250 61.606397
    Unten links KachelX 152 KachelY + 1 73 0.58904862 1.06343666 33.750000 60.930432
    Unten rechts KachelX + 1 153 KachelY + 1 73 0.61359232 1.06343666 35.156250 60.930432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-1.06343666) × R
    0.0117977999999999 × 6371000     		dl = 75163.7837999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-1.06343666) × R
    0.0117977999999999 × 6371000     		dr = 75163.7837999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.61359232) × cos(1.07523446) × R
    0.0245436999999999 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 74357.0082830574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.61359232) × cos(1.06343666) × R
    0.0245436999999999 × 0.485871211628651 × 6371000     		du = 75974.667203392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(1.06343666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.485871211628651)×R²
    abs(0.61359232-0.58904862)×0.0103452101674993×R²
    0.0245436999999999×0.0103452101674993×6371000²
    0.0245436999999999×0.0103452101674993×40589641000000     		ar = 5649814309.66575m²