Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 153 / 73
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E 35.156250°		 ← 75.975 km → N 60.930432°
E 36.562500°		 →
↑
76.794 km
↓
↑
76.794 km
↓
N 60.239811°
E 35.156250°		 ← 77.616 km →
5 897.47 km²		 N 60.239811°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599609375 y=0.287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599609375 × 28)
    floor (0.599609375 × 256)
    floor (153.5)     		tx = 153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287109375 × 28)
    floor (0.287109375 × 256)
    floor (73.5)     		ty = 73
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 153 / 73 ti = "8/153/73"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/153/73.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 153 ÷ 28
    153 ÷ 256     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73 ÷ 28
    73 ÷ 256     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 153 KachelY 73 0.61359232 1.06343666 35.156250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 154 KachelY 73 0.63813601 1.06343666 36.562500 60.930432
    Unten links KachelX 153 KachelY + 1 74 0.61359232 1.05138305 35.156250 60.239811
    Unten rechts KachelX + 1 154 KachelY + 1 74 0.63813601 1.05138305 36.562500 60.239811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.05138305) × R
    0.0120536099999999 × 6371000     		dl = 76793.5493099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.05138305) × R
    0.0120536099999999 × 6371000     		dr = 76793.5493099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.63813601) × cos(1.06343666) × R
    0.02454369 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 75974.6362485373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.63813601) × cos(1.05138305) × R
    0.02454369 × 0.496370882698369 × 6371000     		du = 77616.4472288116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.05138305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.496370882698369)×R²
    abs(0.63813601-0.61359232)×0.0104996710697173×R²
    0.02454369×0.0104996710697173×6371000²
    0.02454369×0.0104996710697173×40589641000000     		ar = 5897473624.89301m²