Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15359 / 9215
↖ ↑ ↗
← N 61.611620°
W 11.260986°		 ← 580.82 m → N 61.611620°
W 11.250000°		 →
↑
580.84 m
↓
↑
580.84 m
↓
N 61.606397°
W 11.260986°		 ← 580.92 m →
337 396 m²		 N 61.606397°
W 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468734741210938 y=0.281234741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468734741210938 × 215)
    floor (0.468734741210938 × 32768)
    floor (15359.5)     		tx = 15359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281234741210938 × 215)
    floor (0.281234741210938 × 32768)
    floor (9215.5)     		ty = 9215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15359 / 9215 ti = "15/15359/9215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15359/9215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15359 ÷ 215
    15359 ÷ 32768     		x = 0.468719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9215 ÷ 215
    9215 ÷ 32768     		y = 0.281219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281219482421875 × 2 - 1) × π
    0.43756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.37463853350473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19654129} λ = -0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37463853350473))-π/2
    2×atan(3.95364735354915)-π/2
    2×1.32306097851249-π/2
    2.64612195702498-1.57079632675     		φ = 1.07532563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07532563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.611620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15359 KachelY 9215 -0.19654129 1.07532563 -11.260986 61.611620
    Oben rechts KachelX + 1 15360 KachelY 9215 -0.19634954 1.07532563 -11.250000 61.611620
    Unten links KachelX 15359 KachelY + 1 9216 -0.19654129 1.07523446 -11.260986 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 15360 KachelY + 1 9216 -0.19634954 1.07523446 -11.250000 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07532563-1.07523446) × R
    9.11700000001403e-05 × 6371000     		dl = 580.844070000894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07532563-1.07523446) × R
    9.11700000001403e-05 × 6371000     		dr = 580.844070000894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19654129--0.19634954) × cos(1.07532563) × R
    0.000191750000000018 × 0.475445797084055 × 6371000     		do = 580.823246965473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19654129--0.19634954) × cos(1.07523446) × R
    0.000191750000000018 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 580.921227780556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07532563)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475445797084055-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.19634954--0.19654129)×8.02043770968819e-05×R²
    0.000191750000000018×8.02043770968819e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.02043770968819e-05×40589641000000     		ar = 337396.194739849m²