Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15364 / 11268
↖ ↑ ↗
← S 55.825973°
E157.587890°		 ← 1 372.41 m → S 55.825973°
E157.609863°		 →
↑
1 372.19 m
↓
↑
1 372.19 m
↓
S 55.838314°
E157.587890°		 ← 1 371.97 m →
1 882 903 m²		 S 55.838314°
E157.609863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937774658203125 y=0.687774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937774658203125 × 214)
    floor (0.937774658203125 × 16384)
    floor (15364.5)     		tx = 15364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687774658203125 × 214)
    floor (0.687774658203125 × 16384)
    floor (11268.5)     		ty = 11268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15364 / 11268 ti = "14/15364/11268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15364/11268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15364 ÷ 214
    15364 ÷ 16384     		x = 0.937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11268 ÷ 214
    11268 ÷ 16384     		y = 0.687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.937744140625 × 2 - 1) × π
    0.87548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.75042755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17963122585034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.75042755} λ = 2.75042755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17963122585034))-π/2
    2×atan(0.307392075953325)-π/2
    2×0.298224642695219-π/2
    0.596449285390439-1.57079632675     		φ = -0.97434704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.75042755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97434704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.825973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15364 KachelY 11268 2.75042755 -0.97434704 157.587890 -55.825973
    Oben rechts KachelX + 1 15365 KachelY 11268 2.75081105 -0.97434704 157.609863 -55.825973
    Unten links KachelX 15364 KachelY + 1 11269 2.75042755 -0.97456242 157.587890 -55.838314
    Unten rechts KachelX + 1 15365 KachelY + 1 11269 2.75081105 -0.97456242 157.609863 -55.838314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97434704--0.97456242) × R
    0.000215379999999987 × 6371000     		dl = 1372.18597999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97434704--0.97456242) × R
    0.000215379999999987 × 6371000     		dr = 1372.18597999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.75042755-2.75081105) × cos(-0.97434704) × R
    0.00038349999999987 × 0.561708390106942 × 6371000     		do = 1372.41003281744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.75042755-2.75081105) × cos(-0.97456242) × R
    0.00038349999999987 × 0.561530185604829 × 6371000     		du = 1371.97462958882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97434704)-sin(-0.97456242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561708390106942-0.561530185604829)×R²
    abs(2.75081105-2.75042755)×0.0001782045021127×R²
    0.00038349999999987×0.0001782045021127×6371000²
    0.00038349999999987×0.0001782045021127×40589641000000     		ar = 1882903.08601978m²