Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15392 / 9248
↖ ↑ ↗
← N 61.438767°
W 10.898438°		 ← 584.06 m → N 61.438767°
W 10.887451°		 →
↑
584.09 m
↓
↑
584.09 m
↓
N 61.433515°
W 10.898438°		 ← 584.16 m →
341 176 m²		 N 61.433515°
W 10.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469741821289062 y=0.282241821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469741821289062 × 215)
    floor (0.469741821289062 × 32768)
    floor (15392.5)     		tx = 15392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282241821289062 × 215)
    floor (0.282241821289062 × 32768)
    floor (9248.5)     		ty = 9248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15392 / 9248 ti = "15/15392/9248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15392/9248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15392 ÷ 215
    15392 ÷ 32768     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9248 ÷ 215
    9248 ÷ 32768     		y = 0.2822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    0.435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36831086275488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36831086275488))-π/2
    2×atan(3.92870895901954)-π/2
    2×1.32155255395411-π/2
    2.64310510790823-1.57079632675     		φ = 1.07230878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07230878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.438767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15392 KachelY 9248 -0.19021362 1.07230878 -10.898438 61.438767
    Oben rechts KachelX + 1 15393 KachelY 9248 -0.19002187 1.07230878 -10.887451 61.438767
    Unten links KachelX 15392 KachelY + 1 9249 -0.19021362 1.07221710 -10.898438 61.433515
    Unten rechts KachelX + 1 15393 KachelY + 1 9249 -0.19002187 1.07221710 -10.887451 61.433515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07230878-1.07221710) × R
    9.16799999999274e-05 × 6371000     		dl = 584.093279999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07230878-1.07221710) × R
    9.16799999999274e-05 × 6371000     		dr = 584.093279999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.19002187) × cos(1.07230878) × R
    0.000191749999999991 × 0.478097688205388 × 6371000     		do = 584.062901245935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.19002187) × cos(1.07221710) × R
    0.000191749999999991 × 0.478178209351207 × 6371000     		du = 584.161269038123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07230878)-sin(1.07221710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478097688205388-0.478178209351207)×R²
    abs(-0.19002187--0.19021362)×8.05211458191346e-05×R²
    0.000191749999999991×8.05211458191346e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.05211458191346e-05×40589641000000     		ar = 341175.943937216m²