Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1562 / 2586
↖ ↑ ↗
← S 42.682435°
W 42.714844°		 ← 7 184.34 m → S 42.682435°
W 42.626953°		 →
↑
7 180.63 m
↓
↑
7 180.63 m
↓
S 42.747012°
W 42.714844°		 ← 7 176.87 m →
51 561 256 m²		 S 42.747012°
W 42.626953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3814697265625 y=0.6314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3814697265625 × 212)
    floor (0.3814697265625 × 4096)
    floor (1562.5)     		tx = 1562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6314697265625 × 212)
    floor (0.6314697265625 × 4096)
    floor (2586.5)     		ty = 2586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1562 / 2586 ti = "12/1562/2586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1562/2586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1562 ÷ 212
    1562 ÷ 4096     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2586 ÷ 212
    2586 ÷ 4096     		y = 0.63134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.825281663858887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825281663858887))-π/2
    2×atan(0.438111574887824)-π/2
    2×0.41292364817031-π/2
    0.82584729634062-1.57079632675     		φ = -0.74494903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74494903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.682435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1562 KachelY 2586 -0.74551466 -0.74494903 -42.714844 -42.682435
    Oben rechts KachelX + 1 1563 KachelY 2586 -0.74398068 -0.74494903 -42.626953 -42.682435
    Unten links KachelX 1562 KachelY + 1 2587 -0.74551466 -0.74607611 -42.714844 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 1563 KachelY + 1 2587 -0.74398068 -0.74607611 -42.626953 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74494903--0.74607611) × R
    0.00112707999999995 × 6371000     		dl = 7180.62667999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74494903--0.74607611) × R
    0.00112707999999995 × 6371000     		dr = 7180.62667999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74398068) × cos(-0.74494903) × R
    0.00153398000000005 × 0.735122457649648 × 6371000     		do = 7184.34191326684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74398068) × cos(-0.74607611) × R
    0.00153398000000005 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 7176.86994712674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74494903)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735122457649648-0.734357904656667)×R²
    abs(-0.74398068--0.74551466)×0.00076455299298106×R²
    0.00153398000000005×0.00076455299298106×6371000²
    0.00153398000000005×0.00076455299298106×40589641000000     		ar = 51561255.9791657m²