Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1585 / 2543
↖ ↑ ↗
← S 39.842286°
W 40.693359°		 ← 7 503.81 m → S 39.842286°
W 40.605469°		 →
↑
7 500.13 m
↓
↑
7 500.13 m
↓
S 39.909736°
W 40.693359°		 ← 7 496.43 m →
56 251 880 m²		 S 39.909736°
W 40.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3870849609375 y=0.6209716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3870849609375 × 212)
    floor (0.3870849609375 × 4096)
    floor (1585.5)     		tx = 1585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6209716796875 × 212)
    floor (0.6209716796875 × 4096)
    floor (2543.5)     		ty = 2543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1585 / 2543 ti = "12/1585/2543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1585/2543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1585 ÷ 212
    1585 ÷ 4096     		x = 0.386962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2543 ÷ 212
    2543 ÷ 4096     		y = 0.620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.22607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.71023310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.759320489981689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71023310} λ = -0.71023310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759320489981689))-π/2
    2×atan(0.467984319025463)-π/2
    2×0.437708627114139-π/2
    0.875417254228278-1.57079632675     		φ = -0.69537907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71023310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69537907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.842286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1585 KachelY 2543 -0.71023310 -0.69537907 -40.693359 -39.842286
    Oben rechts KachelX + 1 1586 KachelY 2543 -0.70869912 -0.69537907 -40.605469 -39.842286
    Unten links KachelX 1585 KachelY + 1 2544 -0.71023310 -0.69655630 -40.693359 -39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 1586 KachelY + 1 2544 -0.70869912 -0.69655630 -40.605469 -39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69537907--0.69655630) × R
    0.00117723000000003 × 6371000     		dl = 7500.13233000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69537907--0.69655630) × R
    0.00117723000000003 × 6371000     		dr = 7500.13233000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71023310--0.70869912) × cos(-0.69537907) × R
    0.00153397999999993 × 0.76781089570694 × 6371000     		do = 7503.80557972139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71023310--0.70869912) × cos(-0.69655630) × R
    0.00153397999999993 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 7496.42936423433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69537907)-sin(-0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76781089570694-0.767056140195237)×R²
    abs(-0.70869912--0.71023310)×0.000754755511703675×R²
    0.00153397999999993×0.000754755511703675×6371000²
    0.00153397999999993×0.000754755511703675×40589641000000     		ar = 56251880.0268657m²