Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15872 / 11776
↖ ↑ ↗
← N 45.089036°
W  5.625000°		 ← 862.49 m → N 45.089036°
W  5.614014°		 →
↑
862.57 m
↓
↑
862.57 m
↓
N 45.081278°
W  5.625000°		 ← 862.60 m →
744 005 m²		 N 45.081278°
W  5.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484390258789062 y=0.359390258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484390258789062 × 215)
    floor (0.484390258789062 × 32768)
    floor (15872.5)     		tx = 15872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359390258789062 × 215)
    floor (0.359390258789062 × 32768)
    floor (11776.5)     		ty = 11776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15872 / 11776 ti = "15/15872/11776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15872/11776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15872 ÷ 215
    15872 ÷ 32768     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11776 ÷ 215
    11776 ÷ 32768     		y = 0.359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359375 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883572933796875))-π/2
    2×atan(2.41952909840215)-π/2
    2×1.17887422696609-π/2
    2.35774845393219-1.57079632675     		φ = 0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15872 KachelY 11776 -0.09817477 0.78695213 -5.625000 45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 15873 KachelY 11776 -0.09798302 0.78695213 -5.614014 45.089036
    Unten links KachelX 15872 KachelY + 1 11777 -0.09817477 0.78681674 -5.625000 45.081278
    Unten rechts KachelX + 1 15873 KachelY + 1 11777 -0.09798302 0.78681674 -5.614014 45.081278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78695213-0.78681674) × R
    0.000135389999999957 × 6371000     		dl = 862.569689999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78695213-0.78681674) × R
    0.000135389999999957 × 6371000     		dr = 862.569689999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09798302) × cos(0.78695213) × R
    0.000191749999999991 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 862.485993351645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09798302) × cos(0.78681674) × R
    0.000191749999999991 × 0.706102984911246 × 6371000     		du = 862.603120909694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78695213)-sin(0.78681674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.706102984911246)×R²
    abs(-0.09798302--0.09817477)×9.58773697294912e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58773697294912e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58773697294912e-05×40589641000000     		ar = 744004.792391309m²