Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15873 / 9729
↖ ↑ ↗
← N 58.808052°
W  5.614014°		 ← 632.66 m → N 58.808052°
W  5.603028°		 →
↑
632.77 m
↓
↑
632.77 m
↓
N 58.802362°
W  5.614014°		 ← 632.77 m →
400 361 m²		 N 58.802362°
W  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484420776367188 y=0.296920776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484420776367188 × 215)
    floor (0.484420776367188 × 32768)
    floor (15873.5)     		tx = 15873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296920776367188 × 215)
    floor (0.296920776367188 × 32768)
    floor (9729.5)     		ty = 9729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15873 / 9729 ti = "15/15873/9729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15873/9729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15873 ÷ 215
    15873 ÷ 32768     		x = 0.484405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9729 ÷ 215
    9729 ÷ 32768     		y = 0.296905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296905517578125 × 2 - 1) × π
    0.40618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27608026788589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09798302} λ = -0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27608026788589))-π/2
    2×atan(3.58256945519441)-π/2
    2×1.29859523294665-π/2
    2.5971904658933-1.57079632675     		φ = 1.02639414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02639414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.808052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15873 KachelY 9729 -0.09798302 1.02639414 -5.614014 58.808052
    Oben rechts KachelX + 1 15874 KachelY 9729 -0.09779128 1.02639414 -5.603028 58.808052
    Unten links KachelX 15873 KachelY + 1 9730 -0.09798302 1.02629482 -5.614014 58.802362
    Unten rechts KachelX + 1 15874 KachelY + 1 9730 -0.09779128 1.02629482 -5.603028 58.802362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02639414-1.02629482) × R
    9.93200000001249e-05 × 6371000     		dl = 632.767720000796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02639414-1.02629482) × R
    9.93200000001249e-05 × 6371000     		dr = 632.767720000796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09798302--0.09779128) × cos(1.02639414) × R
    0.00019174000000001 × 0.517906791512205 × 6371000     		do = 632.662268511221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09798302--0.09779128) × cos(1.02629482) × R
    0.00019174000000001 × 0.517991750965945 × 6371000     		du = 632.766052901802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02639414)-sin(1.02629482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517906791512205-0.517991750965945)×R²
    abs(-0.09779128--0.09798302)×8.49594537408738e-05×R²
    0.00019174000000001×8.49594537408738e-05×6371000²
    0.00019174000000001×8.49594537408738e-05×40589641000000     		ar = 400361.097211441m²