Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15874 / 11778
↖ ↑ ↗
← N 45.073521°
W  5.603028°		 ← 862.72 m → N 45.073521°
W  5.592041°		 →
↑
862.76 m
↓
↑
862.76 m
↓
N 45.065762°
W  5.603028°		 ← 862.84 m →
744 372 m²		 N 45.065762°
W  5.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484451293945312 y=0.359451293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484451293945312 × 215)
    floor (0.484451293945312 × 32768)
    floor (15874.5)     		tx = 15874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359451293945312 × 215)
    floor (0.359451293945312 × 32768)
    floor (11778.5)     		ty = 11778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15874 / 11778 ti = "15/15874/11778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15874/11778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15874 ÷ 215
    15874 ÷ 32768     		x = 0.48443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11778 ÷ 215
    11778 ÷ 32768     		y = 0.35943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09779128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09779128} λ = -0.09779128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883189438599915))-π/2
    2×atan(2.4186013985096)-π/2
    2×1.17873883341483-π/2
    2.35747766682967-1.57079632675     		φ = 0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09779128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.603028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15874 KachelY 11778 -0.09779128 0.78668134 -5.603028 45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 15875 KachelY 11778 -0.09759953 0.78668134 -5.592041 45.073521
    Unten links KachelX 15874 KachelY + 1 11779 -0.09779128 0.78654592 -5.603028 45.065762
    Unten rechts KachelX + 1 15875 KachelY + 1 11779 -0.09759953 0.78654592 -5.592041 45.065762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78668134-0.78654592) × R
    0.000135419999999997 × 6371000     		dl = 862.760819999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78668134-0.78654592) × R
    0.000135419999999997 × 6371000     		dr = 862.760819999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09779128--0.09759953) × cos(0.78668134) × R
    0.000191749999999991 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 862.720241305208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09779128--0.09759953) × cos(0.78654592) × R
    0.000191749999999991 × 0.706294729136104 × 6371000     		du = 862.837363180741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78668134)-sin(0.78654592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706294729136104)×R²
    abs(-0.09759953--0.09779128)×9.58727181796792e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58727181796792e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58727181796792e-05×40589641000000     		ar = 744371.748039672m²