Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15880 / 11784
↖ ↑ ↗
← N 45.026951°
W  5.537109°		 ← 863.42 m → N 45.026951°
W  5.526123°		 →
↑
863.46 m
↓
↑
863.46 m
↓
N 45.019185°
W  5.537109°		 ← 863.54 m →
745 583 m²		 N 45.019185°
W  5.526123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484634399414062 y=0.359634399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484634399414062 × 215)
    floor (0.484634399414062 × 32768)
    floor (15880.5)     		tx = 15880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359634399414062 × 215)
    floor (0.359634399414062 × 32768)
    floor (11784.5)     		ty = 11784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15880 / 11784 ti = "15/15880/11784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15880/11784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15880 ÷ 215
    15880 ÷ 32768     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11784 ÷ 215
    11784 ÷ 32768     		y = 0.359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359619140625 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882038953009033))-π/2
    2×atan(2.41582043248794)-π/2
    2×1.17833243215876-π/2
    2.35666486431752-1.57079632675     		φ = 0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15880 KachelY 11784 -0.09664079 0.78586854 -5.537109 45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 15881 KachelY 11784 -0.09644904 0.78586854 -5.526123 45.026951
    Unten links KachelX 15880 KachelY + 1 11785 -0.09664079 0.78573301 -5.537109 45.019185
    Unten rechts KachelX + 1 15881 KachelY + 1 11785 -0.09644904 0.78573301 -5.526123 45.019185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78586854-0.78573301) × R
    0.000135529999999995 × 6371000     		dl = 863.461629999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78586854-0.78573301) × R
    0.000135529999999995 × 6371000     		dr = 863.461629999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09644904) × cos(0.78586854) × R
    0.000191750000000004 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 863.422977153395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09644904) × cos(0.78573301) × R
    0.000191750000000004 × 0.70686996924645 × 6371000     		du = 863.540099077777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78586854)-sin(0.78573301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.70686996924645)×R²
    abs(-0.09644904--0.09664079)×9.58727581662489e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58727581662489e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58727581662489e-05×40589641000000     		ar = 745583.177517722m²