Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15888 / 10768
↖ ↑ ↗
← N 52.375599°
W  5.449219°		 ← 745.79 m → N 52.375599°
W  5.438232°		 →
↑
745.79 m
↓
↑
745.79 m
↓
N 52.368892°
W  5.449219°		 ← 745.90 m →
556 244 m²		 N 52.368892°
W  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484878540039062 y=0.328628540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484878540039062 × 215)
    floor (0.484878540039062 × 32768)
    floor (15888.5)     		tx = 15888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328628540039062 × 215)
    floor (0.328628540039062 × 32768)
    floor (10768.5)     		ty = 10768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15888 / 10768 ti = "15/15888/10768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15888/10768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15888 ÷ 215
    15888 ÷ 32768     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10768 ÷ 215
    10768 ÷ 32768     		y = 0.32861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32861328125 × 2 - 1) × π
    0.3427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07685451306494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07685451306494))-π/2
    2×atan(2.93543165220719)-π/2
    2×1.24246149005682-π/2
    2.48492298011364-1.57079632675     		φ = 0.91412665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91412665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.375599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15888 KachelY 10768 -0.09510681 0.91412665 -5.449219 52.375599
    Oben rechts KachelX + 1 15889 KachelY 10768 -0.09491506 0.91412665 -5.438232 52.375599
    Unten links KachelX 15888 KachelY + 1 10769 -0.09510681 0.91400959 -5.449219 52.368892
    Unten rechts KachelX + 1 15889 KachelY + 1 10769 -0.09491506 0.91400959 -5.438232 52.368892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91412665-0.91400959) × R
    0.000117060000000002 × 6371000     		dl = 745.789260000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91412665-0.91400959) × R
    0.000117060000000002 × 6371000     		dr = 745.789260000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(0.91412665) × R
    0.000191750000000004 × 0.61048252732382 × 6371000     		do = 745.789416817993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(0.91400959) × R
    0.000191750000000004 × 0.610575238140375 × 6371000     		du = 745.902675990396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91412665)-sin(0.91400959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61048252732382-0.610575238140375)×R²
    abs(-0.09491506--0.09510681)×9.27108165552637e-05×R²
    0.000191750000000004×9.27108165552637e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.27108165552637e-05×40589641000000     		ar = 556243.971656548m²