Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15888 / 9744
↖ ↑ ↗
← N 58.722599°
W  5.449219°		 ← 634.25 m → N 58.722599°
W  5.438232°		 →
↑
634.30 m
↓
↑
634.30 m
↓
N 58.716894°
W  5.449219°		 ← 634.36 m →
402 338 m²		 N 58.716894°
W  5.438232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484878540039062 y=0.297378540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484878540039062 × 215)
    floor (0.484878540039062 × 32768)
    floor (15888.5)     		tx = 15888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297378540039062 × 215)
    floor (0.297378540039062 × 32768)
    floor (9744.5)     		ty = 9744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15888 / 9744 ti = "15/15888/9744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15888/9744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15888 ÷ 215
    15888 ÷ 32768     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9744 ÷ 215
    9744 ÷ 32768     		y = 0.29736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29736328125 × 2 - 1) × π
    0.4052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27320405390869))-π/2
    2×atan(3.57228002325043)-π/2
    2×1.29784951082656-π/2
    2.59569902165312-1.57079632675     		φ = 1.02490269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02490269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15888 KachelY 9744 -0.09510681 1.02490269 -5.449219 58.722599
    Oben rechts KachelX + 1 15889 KachelY 9744 -0.09491506 1.02490269 -5.438232 58.722599
    Unten links KachelX 15888 KachelY + 1 9745 -0.09510681 1.02480313 -5.449219 58.716894
    Unten rechts KachelX + 1 15889 KachelY + 1 9745 -0.09491506 1.02480313 -5.438232 58.716894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02490269-1.02480313) × R
    9.95599999999985e-05 × 6371000     		dl = 634.296759999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02490269-1.02480313) × R
    9.95599999999985e-05 × 6371000     		dr = 634.296759999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(1.02490269) × R
    0.000191750000000004 × 0.519182056613281 × 6371000     		do = 634.253178254521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09491506) × cos(1.02480313) × R
    0.000191750000000004 × 0.5192671443552 × 6371000     		du = 634.357124779743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02490269)-sin(1.02480313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519182056613281-0.5192671443552)×R²
    abs(-0.09491506--0.09510681)×8.50877419187324e-05×R²
    0.000191750000000004×8.50877419187324e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.50877419187324e-05×40589641000000     		ar = 402337.702791049m²