Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1596 / 2636
↖ ↑ ↗
← S 45.828799°
W 39.726563°		 ← 6 809.86 m → S 45.828799°
W 39.638672°		 →
↑
6 806.14 m
↓
↑
6 806.14 m
↓
S 45.890008°
W 39.726563°		 ← 6 802.37 m →
46 323 381 m²		 S 45.890008°
W 39.638672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3897705078125 y=0.6436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3897705078125 × 212)
    floor (0.3897705078125 × 4096)
    floor (1596.5)     		tx = 1596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6436767578125 × 212)
    floor (0.6436767578125 × 4096)
    floor (2636.5)     		ty = 2636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1596 / 2636 ti = "12/1596/2636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1596/2636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1596 ÷ 212
    1596 ÷ 4096     		x = 0.3896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2636 ÷ 212
    2636 ÷ 4096     		y = 0.6435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3896484375 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    -0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69335932} λ = -0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901980703250977))-π/2
    2×atan(0.40576516289158)-π/2
    2×0.38546644381566-π/2
    0.770932887631319-1.57079632675     		φ = -0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1596 KachelY 2636 -0.69335932 -0.79986344 -39.726563 -45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 1597 KachelY 2636 -0.69182534 -0.79986344 -39.638672 -45.828799
    Unten links KachelX 1596 KachelY + 1 2637 -0.69335932 -0.80093174 -39.726563 -45.890008
    Unten rechts KachelX + 1 1597 KachelY + 1 2637 -0.69182534 -0.80093174 -39.638672 -45.890008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79986344--0.80093174) × R
    0.00106830000000002 × 6371000     		dl = 6806.13930000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79986344--0.80093174) × R
    0.00106830000000002 × 6371000     		dr = 6806.13930000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69335932--0.69182534) × cos(-0.79986344) × R
    0.00153398000000005 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 6809.86263991018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69335932--0.69182534) × cos(-0.80093174) × R
    0.00153398000000005 × 0.69603801766048 × 6371000     		du = 6802.37020576588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79986344)-sin(-0.80093174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.69603801766048)×R²
    abs(-0.69182534--0.69335932)×0.000766647337840376×R²
    0.00153398000000005×0.000766647337840376×6371000²
    0.00153398000000005×0.000766647337840376×40589641000000     		ar = 46323380.8714554m²