Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 16 / 10
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E  0.000000°		 ← 703.557 km → N 55.776573°
E 11.250000°		 →
↑
762.138 km
↓
↑
762.138 km
↓
N 48.922499°
E  0.000000°		 ← 821.969 km →
582 025 km²		 N 48.922499°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515625 y=0.328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515625 × 25)
    floor (0.515625 × 32)
    floor (16.5)     		tx = 16
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328125 × 25)
    floor (0.328125 × 32)
    floor (10.5)     		ty = 10
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 16 / 10 ti = "5/16/10"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/16/10.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16 ÷ 25
    16 ÷ 32     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10 ÷ 25
    10 ÷ 32     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16 KachelY 10 0.00000000 0.97348484 0.000000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 17 KachelY 10 0.19634954 0.97348484 11.250000 55.776573
    Unten links KachelX 16 KachelY + 1 11 0.00000000 0.85385869 0.000000 48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 17 KachelY + 1 11 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.85385869) × R
    0.11962615 × 6371000     		dl = 762138.20165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.85385869) × R
    0.11962615 × 6371000     		dr = 762138.20165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(0.97348484) × R
    0.19634954 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 703557.205272489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.19634954) × cos(0.85385869) × R
    0.19634954 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 821968.674628467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.657079281492828)×R²
    abs(0.19634954-0.00000000)×0.0946577717698365×R²
    0.19634954×0.0946577717698365×6371000²
    0.19634954×0.0946577717698365×40589641000000     		ar = 582025025948.489m²