Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16256 / 49024
↖ ↑ ↗
← N 41.244773°
W135.351562°		 ← 229.60 m → N 41.244773°
W135.348816°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
N 41.242707°
W135.351562°		 ← 229.61 m →
52 735 m²		 N 41.242707°
W135.348816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124027252197266 y=0.374027252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124027252197266 × 217)
    floor (0.124027252197266 × 131072)
    floor (16256.5)     		tx = 16256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374027252197266 × 217)
    floor (0.374027252197266 × 131072)
    floor (49024.5)     		ty = 49024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16256 / 49024 ti = "17/16256/49024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16256/49024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16256 ÷ 217
    16256 ÷ 131072     		x = 0.1240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49024 ÷ 217
    49024 ÷ 131072     		y = 0.3740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36233041} λ = -2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791534086526367))-π/2
    2×atan(2.20677922111228)-π/2
    2×1.14532670170008-π/2
    2.29065340340016-1.57079632675     		φ = 0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16256 KachelY 49024 -2.36233041 0.71985708 -135.351562 41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 16257 KachelY 49024 -2.36228248 0.71985708 -135.348816 41.244773
    Unten links KachelX 16256 KachelY + 1 49025 -2.36233041 0.71982103 -135.351562 41.242707
    Unten rechts KachelX + 1 16257 KachelY + 1 49025 -2.36228248 0.71982103 -135.348816 41.242707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71985708-0.71982103) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dl = 229.674550000415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71985708-0.71982103) × R
    3.60500000000652e-05 × 6371000     		dr = 229.674550000415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36233041--2.36228248) × cos(0.71985708) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 229.601698362414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36233041--2.36228248) × cos(0.71982103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751923727174741 × 6371000     		du = 229.608955735386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71985708)-sin(0.71982103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751923727174741)×R²
    abs(-2.36228248--2.36233041)×2.3766455088059e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3766455088059e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3766455088059e-05×40589641000000     		ar = 52734.5001732658m²