Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16320 / 16575
↖ ↑ ↗
← S  2.097920°
W  0.703125°		 ← 1 220.82 m → S  2.097920°
W  0.692139°		 →
↑
1 220.81 m
↓
↑
1 220.81 m
↓
S  2.108899°
W  0.703125°		 ← 1 220.81 m →
1 490 386 m²		 S  2.108899°
W  0.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498062133789062 y=0.505844116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498062133789062 × 215)
    floor (0.498062133789062 × 32768)
    floor (16320.5)     		tx = 16320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505844116210938 × 215)
    floor (0.505844116210938 × 32768)
    floor (16575.5)     		ty = 16575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16320 / 16575 ti = "15/16320/16575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16320/16575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16320 ÷ 215
    16320 ÷ 32768     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16575 ÷ 215
    16575 ÷ 32768     		y = 0.505828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.01165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0366237913097229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0366237913097229))-π/2
    2×atan(0.964038746890314)-π/2
    2×0.767090360001075-π/2
    1.53418072000215-1.57079632675     		φ = -0.03661561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03661561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.097920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16320 KachelY 16575 -0.01227185 -0.03661561 -0.703125 -2.097920
    Oben rechts KachelX + 1 16321 KachelY 16575 -0.01208010 -0.03661561 -0.692139 -2.097920
    Unten links KachelX 16320 KachelY + 1 16576 -0.01227185 -0.03680723 -0.703125 -2.108899
    Unten rechts KachelX + 1 16321 KachelY + 1 16576 -0.01208010 -0.03680723 -0.692139 -2.108899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03661561--0.03680723) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dl = 1220.81102000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03661561--0.03680723) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dr = 1220.81102000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.01208010) × cos(-0.03661561) × R
    0.000191750000000001 × 0.999329723443994 × 6371000     		do = 1220.82041385083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.01208010) × cos(-0.03680723) × R
    0.000191750000000001 × 0.999322690381729 × 6371000     		du = 1220.81182198592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03661561)-sin(-0.03680723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999329723443994-0.999322690381729)×R²
    abs(-0.01208010--0.01227185)×7.03306226490508e-06×R²
    0.000191750000000001×7.03306226490508e-06×6371000²
    0.000191750000000001×7.03306226490508e-06×40589641000000     		ar = 1490385.77470871m²