Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16324 / 16588
↖ ↑ ↗
← S  2.240640°
W  0.659180°		 ← 1 220.71 m → S  2.240640°
W  0.648193°		 →
↑
1 220.68 m
↓
↑
1 220.68 m
↓
S  2.251618°
W  0.659180°		 ← 1 220.70 m →
1 490 089 m²		 S  2.251618°
W  0.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498184204101562 y=0.506240844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498184204101562 × 215)
    floor (0.498184204101562 × 32768)
    floor (16324.5)     		tx = 16324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506240844726562 × 215)
    floor (0.506240844726562 × 32768)
    floor (16588.5)     		ty = 16588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16324 / 16588 ti = "15/16324/16588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16324/16588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16324 ÷ 215
    16324 ÷ 32768     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16588 ÷ 215
    16588 ÷ 32768     		y = 0.5062255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.012451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0391165100899658))-π/2
    2×atan(0.961638662012157)-π/2
    2×0.765844894130843-π/2
    1.53168978826169-1.57079632675     		φ = -0.03910654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03910654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.240640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16324 KachelY 16588 -0.01150486 -0.03910654 -0.659180 -2.240640
    Oben rechts KachelX + 1 16325 KachelY 16588 -0.01131311 -0.03910654 -0.648193 -2.240640
    Unten links KachelX 16324 KachelY + 1 16589 -0.01150486 -0.03929814 -0.659180 -2.251618
    Unten rechts KachelX + 1 16325 KachelY + 1 16589 -0.01131311 -0.03929814 -0.648193 -2.251618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03910654--0.03929814) × R
    0.0001916 × 6371000     		dl = 1220.6836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03910654--0.03929814) × R
    0.0001916 × 6371000     		dr = 1220.6836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(-0.03910654) × R
    0.000191750000000001 × 0.999235436710653 × 6371000     		do = 1220.70522947663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(-0.03929814) × R
    0.000191750000000001 × 0.999227927466063 × 6371000     		du = 1220.6960558887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03910654)-sin(-0.03929814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999235436710653-0.999227927466063)×R²
    abs(-0.01131311--0.01150486)×7.50924459047564e-06×R²
    0.000191750000000001×7.50924459047564e-06×6371000²
    0.000191750000000001×7.50924459047564e-06×40589641000000     		ar = 1490089.25959071m²