Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16450 / 16574
↖ ↑ ↗
← S  2.086941°
E  0.725098°		 ← 1 220.83 m → S  2.086941°
E  0.736084°		 →
↑
1 220.81 m
↓
↑
1 220.81 m
↓
S  2.097920°
E  0.725098°		 ← 1 220.82 m →
1 490 396 m²		 S  2.097920°
E  0.736084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502029418945312 y=0.505813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502029418945312 × 215)
    floor (0.502029418945312 × 32768)
    floor (16450.5)     		tx = 16450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505813598632812 × 215)
    floor (0.505813598632812 × 32768)
    floor (16574.5)     		ty = 16574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16450 / 16574 ti = "15/16450/16574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16450/16574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16450 ÷ 215
    16450 ÷ 32768     		x = 0.50201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16574 ÷ 215
    16574 ÷ 32768     		y = 0.50579833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50201416015625 × 2 - 1) × π
    0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50579833984375 × 2 - 1) × π
    -0.0115966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01265534} λ = 0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0364320437112427))-π/2
    2×atan(0.96422361672848)-π/2
    2×0.767186169874043-π/2
    1.53437233974809-1.57079632675     		φ = -0.03642399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03642399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.086941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16450 KachelY 16574 0.01265534 -0.03642399 0.725098 -2.086941
    Oben rechts KachelX + 1 16451 KachelY 16574 0.01284709 -0.03642399 0.736084 -2.086941
    Unten links KachelX 16450 KachelY + 1 16575 0.01265534 -0.03661561 0.725098 -2.097920
    Unten rechts KachelX + 1 16451 KachelY + 1 16575 0.01284709 -0.03661561 0.736084 -2.097920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03642399--0.03661561) × R
    0.000191619999999997 × 6371000     		dl = 1220.81101999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03642399--0.03661561) × R
    0.000191619999999997 × 6371000     		dr = 1220.81101999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01265534-0.01284709) × cos(-0.03642399) × R
    0.000191750000000001 × 0.999336719812646 × 6371000     		do = 1220.82896088939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01265534-0.01284709) × cos(-0.03661561) × R
    0.000191750000000001 × 0.999329723443994 × 6371000     		du = 1220.82041385083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03642399)-sin(-0.03661561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999336719812646-0.999329723443994)×R²
    abs(0.01284709-0.01265534)×6.99636865209019e-06×R²
    0.000191750000000001×6.99636865209019e-06×6371000²
    0.000191750000000001×6.99636865209019e-06×40589641000000     		ar = 1490396.23638988m²