Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16465 / 16592
↖ ↑ ↗
← S  2.284551°
E  0.889893°		 ← 1 220.60 m → S  2.284551°
E  0.900879°		 →
↑
1 220.68 m
↓
↑
1 220.68 m
↓
S  2.295528°
E  0.889893°		 ← 1 220.60 m →
1 489 966 m²		 S  2.295528°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502487182617188 y=0.506362915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502487182617188 × 215)
    floor (0.502487182617188 × 32768)
    floor (16465.5)     		tx = 16465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506362915039062 × 215)
    floor (0.506362915039062 × 32768)
    floor (16592.5)     		ty = 16592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16465 / 16592 ti = "15/16465/16592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16465/16592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16465 ÷ 215
    16465 ÷ 32768     		x = 0.502471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16592 ÷ 215
    16592 ÷ 32768     		y = 0.50634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502471923828125 × 2 - 1) × π
    0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01553156} λ = 0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0398835004838867))-π/2
    2×atan(0.960901377177308)-π/2
    2×0.765461697923145-π/2
    1.53092339584629-1.57079632675     		φ = -0.03987293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03987293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.284551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16465 KachelY 16592 0.01553156 -0.03987293 0.889893 -2.284551
    Oben rechts KachelX + 1 16466 KachelY 16592 0.01572330 -0.03987293 0.900879 -2.284551
    Unten links KachelX 16465 KachelY + 1 16593 0.01553156 -0.04006453 0.889893 -2.295528
    Unten rechts KachelX + 1 16466 KachelY + 1 16593 0.01572330 -0.04006453 0.900879 -2.295528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03987293--0.04006453) × R
    0.0001916 × 6371000     		dl = 1220.6836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03987293--0.04006453) × R
    0.0001916 × 6371000     		dr = 1220.6836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(-0.03987293) × R
    0.000191739999999999 × 0.999205180038725 × 6371000     		do = 1220.6046073766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01553156-0.01572330) × cos(-0.04006453) × R
    0.000191739999999999 × 0.99919752406885 × 6371000     		du = 1220.59525503106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03987293)-sin(-0.04006453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999205180038725-0.99919752406885)×R²
    abs(0.01572330-0.01553156)×7.65596987517547e-06×R²
    0.000191739999999999×7.65596987517547e-06×6371000²
    0.000191739999999999×7.65596987517547e-06×40589641000000     		ar = 1489966.32273975m²