Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16520 / 49288
↖ ↑ ↗
← N 40.697299°
W134.626465°		 ← 231.56 m → N 40.697299°
W134.623718°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 40.695217°
W134.626465°		 ← 231.57 m →
53 613 m²		 N 40.695217°
W134.623718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126041412353516 y=0.376041412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126041412353516 × 217)
    floor (0.126041412353516 × 131072)
    floor (16520.5)     		tx = 16520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376041412353516 × 217)
    floor (0.376041412353516 × 131072)
    floor (49288.5)     		ty = 49288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16520 / 49288 ti = "17/16520/49288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16520/49288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16520 ÷ 217
    16520 ÷ 131072     		x = 0.12603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49288 ÷ 217
    49288 ÷ 131072     		y = 0.37603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.7479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34967507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37603759765625 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.778878745026672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34967507} λ = -2.34967507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.778878745026672))-π/2
    2×atan(2.17902764964629)-π/2
    2×1.14054909557368-π/2
    2.28109819114735-1.57079632675     		φ = 0.71030186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34967507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71030186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.697299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16520 KachelY 49288 -2.34967507 0.71030186 -134.626465 40.697299
    Oben rechts KachelX + 1 16521 KachelY 49288 -2.34962713 0.71030186 -134.623718 40.697299
    Unten links KachelX 16520 KachelY + 1 49289 -2.34967507 0.71026552 -134.626465 40.695217
    Unten rechts KachelX + 1 16521 KachelY + 1 49289 -2.34962713 0.71026552 -134.623718 40.695217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71030186-0.71026552) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dl = 231.522139999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71030186-0.71026552) × R
    3.63399999999681e-05 × 6371000     		dr = 231.522139999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34967507--2.34962713) × cos(0.71030186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758165078900614 × 6371000     		do = 231.563130265227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34967507--2.34962713) × cos(0.71026552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.758188774357074 × 6371000     		du = 231.570367467551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71030186)-sin(0.71026552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758165078900614-0.758188774357074)×R²
    abs(-2.34962713--2.34967507)×2.36954564603042e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36954564603042e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36954564603042e-05×40589641000000     		ar = 53612.8292561698m²