Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16588 / 16332
↖ ↑ ↗
← N  0.571280°
E  2.241211°		 ← 1 221.58 m → N  0.571280°
E  2.252197°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.560294°
E  2.241211°		 ← 1 221.58 m →
1 492 252 m²		 N  0.560294°
E  2.252197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506240844726562 y=0.498428344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506240844726562 × 215)
    floor (0.506240844726562 × 32768)
    floor (16588.5)     		tx = 16588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498428344726562 × 215)
    floor (0.498428344726562 × 32768)
    floor (16332.5)     		ty = 16332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16588 / 16332 ti = "15/16588/16332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16588/16332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16588 ÷ 215
    16588 ÷ 32768     		x = 0.5062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16332 ÷ 215
    16332 ÷ 32768     		y = 0.4984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5062255859375 × 2 - 1) × π
    0.012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03911651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4984130859375 × 2 - 1) × π
    0.003173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03911651} λ = 0.03911651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00997087512097168))-π/2
    2×atan(1.01002074992363)-π/2
    2×0.790383518352657-π/2
    1.58076703670531-1.57079632675     		φ = 0.00997071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03911651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00997071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.571280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16588 KachelY 16332 0.03911651 0.00997071 2.241211 0.571280
    Oben rechts KachelX + 1 16589 KachelY 16332 0.03930826 0.00997071 2.252197 0.571280
    Unten links KachelX 16588 KachelY + 1 16333 0.03911651 0.00977897 2.241211 0.560294
    Unten rechts KachelX + 1 16589 KachelY + 1 16333 0.03930826 0.00977897 2.252197 0.560294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00997071-0.00977897) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dl = 1221.57554000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00997071-0.00977897) × R
    0.000191740000000001 × 6371000     		dr = 1221.57554000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03911651-0.03930826) × cos(0.00997071) × R
    0.000191749999999997 × 0.999950292882853 × 6371000     		do = 1221.57852583467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03911651-0.03930826) × cos(0.00977897) × R
    0.000191749999999997 × 0.9999521862539 × 6371000     		du = 1221.58083885106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00997071)-sin(0.00977897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999950292882853-0.9999521862539)×R²
    abs(0.03930826-0.03911651)×1.89337104716802e-06×R²
    0.000191749999999997×1.89337104716802e-06×6371000²
    0.000191749999999997×1.89337104716802e-06×40589641000000     		ar = 1492251.86468282m²