Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16770 / 11138
↖ ↑ ↗
← N 49.823809°
E  4.240722°		 ← 788.13 m → N 49.823809°
E  4.251709°		 →
↑
788.16 m
↓
↑
788.16 m
↓
N 49.816721°
E  4.240722°		 ← 788.24 m →
621 214 m²		 N 49.816721°
E  4.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511795043945312 y=0.339920043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511795043945312 × 215)
    floor (0.511795043945312 × 32768)
    floor (16770.5)     		tx = 16770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339920043945312 × 215)
    floor (0.339920043945312 × 32768)
    floor (11138.5)     		ty = 11138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16770 / 11138 ti = "15/16770/11138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16770/11138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16770 ÷ 215
    16770 ÷ 32768     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11138 ÷ 215
    11138 ÷ 32768     		y = 0.33990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00590790162726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00590790162726))-π/2
    2×atan(2.73438870216086)-π/2
    2×1.22019292059849-π/2
    2.44038584119697-1.57079632675     		φ = 0.86958951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86958951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.823809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16770 KachelY 11138 0.07401457 0.86958951 4.240722 49.823809
    Oben rechts KachelX + 1 16771 KachelY 11138 0.07420632 0.86958951 4.251709 49.823809
    Unten links KachelX 16770 KachelY + 1 11139 0.07401457 0.86946580 4.240722 49.816721
    Unten rechts KachelX + 1 16771 KachelY + 1 11139 0.07420632 0.86946580 4.251709 49.816721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86958951-0.86946580) × R
    0.000123709999999999 × 6371000     		dl = 788.156409999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86958951-0.86946580) × R
    0.000123709999999999 × 6371000     		dr = 788.156409999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(0.86958951) × R
    0.000191750000000004 × 0.645140242289256 × 6371000     		do = 788.128641735083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(0.86946580) × R
    0.000191750000000004 × 0.645234759731783 × 6371000     		du = 788.244107952684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86958951)-sin(0.86946580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645140242289256-0.645234759731783)×R²
    abs(0.07420632-0.07401457)×9.45174425269757e-05×R²
    0.000191750000000004×9.45174425269757e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.45174425269757e-05×40589641000000     		ar = 621214.144400415m²