Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16836 / 10820
↖ ↑ ↗
← N 52.025459°
E  4.965820°		 ← 751.69 m → N 52.025459°
E  4.976807°		 →
↑
751.78 m
↓
↑
751.78 m
↓
N 52.018698°
E  4.965820°		 ← 751.80 m →
565 146 m²		 N 52.018698°
E  4.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513809204101562 y=0.330215454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513809204101562 × 215)
    floor (0.513809204101562 × 32768)
    floor (16836.5)     		tx = 16836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330215454101562 × 215)
    floor (0.330215454101562 × 32768)
    floor (10820.5)     		ty = 10820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16836 / 10820 ti = "15/16836/10820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16836/10820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16836 ÷ 215
    16836 ÷ 32768     		x = 0.5137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10820 ÷ 215
    10820 ÷ 32768     		y = 0.3302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5137939453125 × 2 - 1) × π
    0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3302001953125 × 2 - 1) × π
    0.339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06688363794397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08666991} λ = 0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06688363794397))-π/2
    2×atan(2.90630826389374)-π/2
    2×1.23940593713351-π/2
    2.47881187426701-1.57079632675     		φ = 0.90801555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90801555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.025459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16836 KachelY 10820 0.08666991 0.90801555 4.965820 52.025459
    Oben rechts KachelX + 1 16837 KachelY 10820 0.08686166 0.90801555 4.976807 52.025459
    Unten links KachelX 16836 KachelY + 1 10821 0.08666991 0.90789755 4.965820 52.018698
    Unten rechts KachelX + 1 16837 KachelY + 1 10821 0.08686166 0.90789755 4.976807 52.018698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90801555-0.90789755) × R
    0.000117999999999951 × 6371000     		dl = 751.777999999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90801555-0.90789755) × R
    0.000117999999999951 × 6371000     		dr = 751.777999999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08666991-0.08686166) × cos(0.90801555) × R
    0.000191749999999991 × 0.615311270678919 × 6371000     		do = 751.688399228704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08666991-0.08686166) × cos(0.90789755) × R
    0.000191749999999991 × 0.615404283935012 × 6371000     		du = 751.802027873118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90801555)-sin(0.90789755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615311270678919-0.615404283935012)×R²
    abs(0.08686166-0.08666991)×9.30132560932329e-05×R²
    0.000191749999999991×9.30132560932329e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.30132560932329e-05×40589641000000     		ar = 565145.513808129m²