Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16848 / 10832
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
E  5.097656°		 ← 753.01 m → N 51.944265°
E  5.108642°		 →
↑
753.12 m
↓
↑
753.12 m
↓
N 51.937492°
E  5.097656°		 ← 753.13 m →
567 149 m²		 N 51.937492°
E  5.108642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514175415039062 y=0.330581665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514175415039062 × 215)
    floor (0.514175415039062 × 32768)
    floor (16848.5)     		tx = 16848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330581665039062 × 215)
    floor (0.330581665039062 × 32768)
    floor (10832.5)     		ty = 10832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16848 / 10832 ti = "15/16848/10832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16848/10832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16848 ÷ 215
    16848 ÷ 32768     		x = 0.51416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10832 ÷ 215
    10832 ÷ 32768     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51416015625 × 2 - 1) × π
    0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08897089} λ = 0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16848 KachelY 10832 0.08897089 0.90659845 5.097656 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 16849 KachelY 10832 0.08916263 0.90659845 5.108642 51.944265
    Unten links KachelX 16848 KachelY + 1 10833 0.08897089 0.90648024 5.097656 51.937492
    Unten rechts KachelX + 1 16849 KachelY + 1 10833 0.08916263 0.90648024 5.108642 51.937492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90648024) × R
    0.000118209999999896 × 6371000     		dl = 753.11590999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90648024) × R
    0.000118209999999896 × 6371000     		dr = 753.11590999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08897089-0.08916263) × cos(0.90659845) × R
    0.00019174000000001 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 753.013037235571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08897089-0.08916263) × cos(0.90648024) × R
    0.00019174000000001 × 0.616520805678602 × 6371000     		du = 753.126736118112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90648024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.616520805678602)×R²
    abs(0.08916263-0.08897089)×9.30756050834258e-05×R²
    0.00019174000000001×9.30756050834258e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.30756050834258e-05×40589641000000     		ar = 567148.913658215m²