Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16864 / 11104
↖ ↑ ↗
← N 50.064192°
E  5.273438°		 ← 784.16 m → N 50.064192°
E  5.284424°		 →
↑
784.21 m
↓
↑
784.21 m
↓
N 50.057139°
E  5.273438°		 ← 784.28 m →
614 992 m²		 N 50.057139°
E  5.284424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514663696289062 y=0.338882446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514663696289062 × 215)
    floor (0.514663696289062 × 32768)
    floor (16864.5)     		tx = 16864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338882446289062 × 215)
    floor (0.338882446289062 × 32768)
    floor (11104.5)     		ty = 11104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16864 / 11104 ti = "15/16864/11104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16864/11104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16864 ÷ 215
    16864 ÷ 32768     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11104 ÷ 215
    11104 ÷ 32768     		y = 0.3388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3388671875 × 2 - 1) × π
    0.322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01242731997559))-π/2
    2×atan(2.75227356213295)-π/2
    2×1.22229065496538-π/2
    2.44458130993076-1.57079632675     		φ = 0.87378498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87378498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.064192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16864 KachelY 11104 0.09203885 0.87378498 5.273438 50.064192
    Oben rechts KachelX + 1 16865 KachelY 11104 0.09223059 0.87378498 5.284424 50.064192
    Unten links KachelX 16864 KachelY + 1 11105 0.09203885 0.87366189 5.273438 50.057139
    Unten rechts KachelX + 1 16865 KachelY + 1 11105 0.09223059 0.87366189 5.284424 50.057139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87378498-0.87366189) × R
    0.000123089999999992 × 6371000     		dl = 784.206389999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87378498-0.87366189) × R
    0.000123089999999992 × 6371000     		dr = 784.206389999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09223059) × cos(0.87378498) × R
    0.000191739999999996 × 0.641928965496643 × 6371000     		do = 784.164722668186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09223059) × cos(0.87366189) × R
    0.000191739999999996 × 0.642023341627955 × 6371000     		du = 784.280010241756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87378498)-sin(0.87366189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641928965496643-0.642023341627955)×R²
    abs(0.09223059-0.09203885)×9.43761313116909e-05×R²
    0.000191739999999996×9.43761313116909e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.43761313116909e-05×40589641000000     		ar = 614992.191731693m²