Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16895 / 11775
↖ ↑ ↗
← N 45.096791°
E  5.614014°		 ← 862.37 m → N 45.096791°
E  5.625000°		 →
↑
862.38 m
↓
↑
862.38 m
↓
N 45.089036°
E  5.614014°		 ← 862.49 m →
743 739 m²		 N 45.089036°
E  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515609741210938 y=0.359359741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515609741210938 × 215)
    floor (0.515609741210938 × 32768)
    floor (16895.5)     		tx = 16895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359359741210938 × 215)
    floor (0.359359741210938 × 32768)
    floor (11775.5)     		ty = 11775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16895 / 11775 ti = "15/16895/11775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16895/11775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16895 ÷ 215
    16895 ÷ 32768     		x = 0.515594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11775 ÷ 215
    11775 ÷ 32768     		y = 0.359344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515594482421875 × 2 - 1) × π
    0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359344482421875 × 2 - 1) × π
    0.28131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.883764681395355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09798302} λ = 0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883764681395355))-π/2
    2×atan(2.41999308177865)-π/2
    2×1.17894190995411-π/2
    2.35788381990822-1.57079632675     		φ = 0.78708749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78708749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.096791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16895 KachelY 11775 0.09798302 0.78708749 5.614014 45.096791
    Oben rechts KachelX + 1 16896 KachelY 11775 0.09817477 0.78708749 5.625000 45.096791
    Unten links KachelX 16895 KachelY + 1 11776 0.09798302 0.78695213 5.614014 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 16896 KachelY + 1 11776 0.09817477 0.78695213 5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78708749-0.78695213) × R
    0.000135360000000029 × 6371000     		dl = 862.378560000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78708749-0.78695213) × R
    0.000135360000000029 × 6371000     		dr = 862.378560000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09798302-0.09817477) × cos(0.78708749) × R
    0.000191749999999991 × 0.705911238479367 × 6371000     		do = 862.368875942463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09798302-0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    0.000191749999999991 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 862.485993351645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78708749)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705911238479367-0.706007107541517)×R²
    abs(0.09817477-0.09798302)×9.58690621495339e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58690621495339e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58690621495339e-05×40589641000000     		ar = 743738.930331141m²