Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16896 / 9728
↖ ↑ ↗
← N 58.813742°
E  5.625000°		 ← 632.59 m → N 58.813742°
E  5.635986°		 →
↑
632.64 m
↓
↑
632.64 m
↓
N 58.808052°
E  5.625000°		 ← 632.70 m →
400 236 m²		 N 58.808052°
E  5.635986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515640258789062 y=0.296890258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515640258789062 × 215)
    floor (0.515640258789062 × 32768)
    floor (16896.5)     		tx = 16896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296890258789062 × 215)
    floor (0.296890258789062 × 32768)
    floor (9728.5)     		ty = 9728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16896 / 9728 ti = "15/16896/9728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16896/9728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16896 ÷ 215
    16896 ÷ 32768     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9728 ÷ 215
    9728 ÷ 32768     		y = 0.296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296875 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27627201548437))-π/2
    2×atan(3.58325647014846)-π/2
    2×1.29864488256632-π/2
    2.59728976513265-1.57079632675     		φ = 1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16896 KachelY 9728 0.09817477 1.02649344 5.625000 58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 16897 KachelY 9728 0.09836652 1.02649344 5.635986 58.813742
    Unten links KachelX 16896 KachelY + 1 9729 0.09817477 1.02639414 5.625000 58.808052
    Unten rechts KachelX + 1 16897 KachelY + 1 9729 0.09836652 1.02639414 5.635986 58.808052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02649344-1.02639414) × R
    9.93000000000244e-05 × 6371000     		dl = 632.640300000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02649344-1.02639414) × R
    9.93000000000244e-05 × 6371000     		dr = 632.640300000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09836652) × cos(1.02649344) × R
    0.000191750000000004 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 632.59148921031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09836652) × cos(1.02639414) × R
    0.000191750000000004 × 0.517906791512205 × 6371000     		du = 632.69526435289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02649344)-sin(1.02639414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.517906791512205)×R²
    abs(0.09836652-0.09817477)×8.49474528430427e-05×R²
    0.000191750000000004×8.49474528430427e-05×6371000²
    0.000191750000000004×8.49474528430427e-05×40589641000000     		ar = 400235.696009643m²