Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16912 / 11792
↖ ↑ ↗
← N 44.964798°
E  5.800781°		 ← 864.36 m → N 44.964798°
E  5.811768°		 →
↑
864.42 m
↓
↑
864.42 m
↓
N 44.957024°
E  5.800781°		 ← 864.48 m →
747 218 m²		 N 44.957024°
E  5.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516128540039062 y=0.359878540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516128540039062 × 215)
    floor (0.516128540039062 × 32768)
    floor (16912.5)     		tx = 16912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359878540039062 × 215)
    floor (0.359878540039062 × 32768)
    floor (11792.5)     		ty = 11792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16912 / 11792 ti = "15/16912/11792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16912/11792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16912 ÷ 215
    16912 ÷ 32768     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11792 ÷ 215
    11792 ÷ 32768     		y = 0.35986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880504972221191))-π/2
    2×atan(2.4121174512348)-π/2
    2×1.17779004907765-π/2
    2.3555800981553-1.57079632675     		φ = 0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16912 KachelY 11792 0.10124273 0.78478377 5.800781 44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 16913 KachelY 11792 0.10143448 0.78478377 5.811768 44.964798
    Unten links KachelX 16912 KachelY + 1 11793 0.10124273 0.78464809 5.800781 44.957024
    Unten rechts KachelX + 1 16913 KachelY + 1 11793 0.10143448 0.78464809 5.811768 44.957024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78478377-0.78464809) × R
    0.000135679999999971 × 6371000     		dl = 864.417279999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78478377-0.78464809) × R
    0.000135679999999971 × 6371000     		dr = 864.417279999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10143448) × cos(0.78478377) × R
    0.000191749999999991 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 864.359965844939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10143448) × cos(0.78464809) × R
    0.000191749999999991 × 0.707636964209838 × 6371000     		du = 864.477090229541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78478377)-sin(0.78464809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707636964209838)×R²
    abs(0.10143448-0.10124273)×9.58747720342101e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58747720342101e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58747720342101e-05×40589641000000     		ar = 747218.313933382m²