Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16932 / 11044
↖ ↑ ↗
← N 50.485474°
E  6.020508°		 ← 777.30 m → N 50.485474°
E  6.031494°		 →
↑
777.39 m
↓
↑
777.39 m
↓
N 50.478482°
E  6.020508°		 ← 777.41 m →
604 307 m²		 N 50.478482°
E  6.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516738891601562 y=0.337051391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516738891601562 × 215)
    floor (0.516738891601562 × 32768)
    floor (16932.5)     		tx = 16932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337051391601562 × 215)
    floor (0.337051391601562 × 32768)
    floor (11044.5)     		ty = 11044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16932 / 11044 ti = "15/16932/11044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16932/11044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16932 ÷ 215
    16932 ÷ 32768     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11044 ÷ 215
    11044 ÷ 32768     		y = 0.3370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3370361328125 × 2 - 1) × π
    0.325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0239321758844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0239321758844))-π/2
    2×atan(2.78412092124563)-π/2
    2×1.22596703228936-π/2
    2.45193406457872-1.57079632675     		φ = 0.88113774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88113774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.485474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16932 KachelY 11044 0.10507768 0.88113774 6.020508 50.485474
    Oben rechts KachelX + 1 16933 KachelY 11044 0.10526943 0.88113774 6.031494 50.485474
    Unten links KachelX 16932 KachelY + 1 11045 0.10507768 0.88101572 6.020508 50.478482
    Unten rechts KachelX + 1 16933 KachelY + 1 11045 0.10526943 0.88101572 6.031494 50.478482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88113774-0.88101572) × R
    0.000122020000000056 × 6371000     		dl = 777.389420000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88113774-0.88101572) × R
    0.000122020000000056 × 6371000     		dr = 777.389420000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10526943) × cos(0.88113774) × R
    0.000191749999999991 × 0.636273831554846 × 6371000     		do = 777.29708637525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10526943) × cos(0.88101572) × R
    0.000191749999999991 × 0.63636796076883 × 6371000     		du = 777.412078317624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88113774)-sin(0.88101572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636273831554846-0.63636796076883)×R²
    abs(0.10526943-0.10507768)×9.41292139834404e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41292139834404e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41292139834404e-05×40589641000000     		ar = 604307.228654148m²