Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16964 / 11076
↖ ↑ ↗
← N 50.261254°
E  6.372070°		 ← 780.94 m → N 50.261254°
E  6.383056°		 →
↑
781.08 m
↓
↑
781.08 m
↓
N 50.254230°
E  6.372070°		 ← 781.05 m →
610 024 m²		 N 50.254230°
E  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517715454101562 y=0.338027954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517715454101562 × 215)
    floor (0.517715454101562 × 32768)
    floor (16964.5)     		tx = 16964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338027954101562 × 215)
    floor (0.338027954101562 × 32768)
    floor (11076.5)     		ty = 11076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16964 / 11076 ti = "15/16964/11076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16964/11076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16964 ÷ 215
    16964 ÷ 32768     		x = 0.5177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11076 ÷ 215
    11076 ÷ 32768     		y = 0.3380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11121361} λ = 0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01779625273303))-π/2
    2×atan(2.76709007265146)-π/2
    2×1.22401034612413-π/2
    2.44802069224825-1.57079632675     		φ = 0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16964 KachelY 11076 0.11121361 0.87722437 6.372070 50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 16965 KachelY 11076 0.11140535 0.87722437 6.383056 50.261254
    Unten links KachelX 16964 KachelY + 1 11077 0.11121361 0.87710177 6.372070 50.254230
    Unten rechts KachelX + 1 16965 KachelY + 1 11077 0.11140535 0.87710177 6.383056 50.254230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87722437-0.87710177) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dl = 781.084599999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87722437-0.87710177) × R
    0.000122599999999973 × 6371000     		dr = 781.084599999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.87722437) × R
    0.000191739999999996 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 780.938550909517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11121361-0.11140535) × cos(0.87710177) × R
    0.000191739999999996 × 0.639382243663191 × 6371000     		du = 781.053709569257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87722437)-sin(0.87710177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639382243663191)×R²
    abs(0.11140535-0.11121361)×9.42706005233607e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42706005233607e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42706005233607e-05×40589641000000     		ar = 610024.050753176m²