Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16990 / 10978
↖ ↑ ↗
← N 50.944584°
E  6.657715°		 ← 769.72 m → N 50.944584°
E  6.668701°		 →
↑
769.74 m
↓
↑
769.74 m
↓
N 50.937662°
E  6.657715°		 ← 769.83 m →
592 532 m²		 N 50.937662°
E  6.668701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518508911132812 y=0.335037231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518508911132812 × 215)
    floor (0.518508911132812 × 32768)
    floor (16990.5)     		tx = 16990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335037231445312 × 215)
    floor (0.335037231445312 × 32768)
    floor (10978.5)     		ty = 10978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16990 / 10978 ti = "15/16990/10978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16990/10978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16990 ÷ 215
    16990 ÷ 32768     		x = 0.51849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10978 ÷ 215
    10978 ÷ 32768     		y = 0.33502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51849365234375 × 2 - 1) × π
    0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33502197265625 × 2 - 1) × π
    0.3299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03658751738409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11619904} λ = 0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03658751738409))-π/2
    2×atan(2.81957881492056)-π/2
    2×1.22997353061318-π/2
    2.45994706122636-1.57079632675     		φ = 0.88915073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88915073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.944584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16990 KachelY 10978 0.11619904 0.88915073 6.657715 50.944584
    Oben rechts KachelX + 1 16991 KachelY 10978 0.11639079 0.88915073 6.668701 50.944584
    Unten links KachelX 16990 KachelY + 1 10979 0.11619904 0.88902991 6.657715 50.937662
    Unten rechts KachelX + 1 16991 KachelY + 1 10979 0.11639079 0.88902991 6.668701 50.937662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88915073-0.88902991) × R
    0.000120820000000021 × 6371000     		dl = 769.744220000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88915073-0.88902991) × R
    0.000120820000000021 × 6371000     		dr = 769.744220000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11619904-0.11639079) × cos(0.88915073) × R
    0.000191749999999991 × 0.630071743232689 × 6371000     		do = 769.720371848936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11619904-0.11639079) × cos(0.88902991) × R
    0.000191749999999991 × 0.630165559825205 × 6371000     		du = 769.834981880656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88915073)-sin(0.88902991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630071743232689-0.630165559825205)×R²
    abs(0.11639079-0.11619904)×9.38165925166157e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38165925166157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38165925166157e-05×40589641000000     		ar = 592531.9181726m²