Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16996 / 10980
↖ ↑ ↗
← N 50.930738°
E  6.723633°		 ← 769.95 m → N 50.930738°
E  6.734619°		 →
↑
770 m
↓
↑
770 m
↓
N 50.923813°
E  6.723633°		 ← 770.06 m →
592 905 m²		 N 50.923813°
E  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518692016601562 y=0.335098266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518692016601562 × 215)
    floor (0.518692016601562 × 32768)
    floor (16996.5)     		tx = 16996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335098266601562 × 215)
    floor (0.335098266601562 × 32768)
    floor (10980.5)     		ty = 10980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16996 / 10980 ti = "15/16996/10980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16996/10980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16996 ÷ 215
    16996 ÷ 32768     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10980 ÷ 215
    10980 ÷ 32768     		y = 0.3350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3350830078125 × 2 - 1) × π
    0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03620402218713))-π/2
    2×atan(2.81849772729679)-π/2
    2×1.22985269788039-π/2
    2.45970539576078-1.57079632675     		φ = 0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16996 KachelY 10980 0.11734953 0.88890907 6.723633 50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 16997 KachelY 10980 0.11754128 0.88890907 6.734619 50.930738
    Unten links KachelX 16996 KachelY + 1 10981 0.11734953 0.88878821 6.723633 50.923813
    Unten rechts KachelX + 1 16997 KachelY + 1 10981 0.11754128 0.88878821 6.734619 50.923813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88890907-0.88878821) × R
    0.00012086 × 6371000     		dl = 769.999060000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88890907-0.88878821) × R
    0.00012086 × 6371000     		dr = 769.999060000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11754128) × cos(0.88890907) × R
    0.000191750000000004 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 769.949599644026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11754128) × cos(0.88878821) × R
    0.000191750000000004 × 0.630353211990905 × 6371000     		du = 770.064225131678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88890907)-sin(0.88878821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.630353211990905)×R²
    abs(0.11754128-0.11734953)×9.38292443144473e-05×R²
    0.000191750000000004×9.38292443144473e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.38292443144473e-05×40589641000000     		ar = 592904.599454141m²