Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17000 / 10984
↖ ↑ ↗
← N 50.903033°
E  6.767578°		 ← 770.41 m → N 50.903033°
E  6.778565°		 →
↑
770.45 m
↓
↑
770.45 m
↓
N 50.896104°
E  6.767578°		 ← 770.52 m →
593 601 m²		 N 50.896104°
E  6.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518814086914062 y=0.335220336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518814086914062 × 215)
    floor (0.518814086914062 × 32768)
    floor (17000.5)     		tx = 17000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335220336914062 × 215)
    floor (0.335220336914062 × 32768)
    floor (10984.5)     		ty = 10984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17000 / 10984 ti = "15/17000/10984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17000/10984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17000 ÷ 215
    17000 ÷ 32768     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10984 ÷ 215
    10984 ÷ 32768     		y = 0.335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335205078125 × 2 - 1) × π
    0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03543703179321))-π/2
    2×atan(2.8163367954276)-π/2
    2×1.22961092446496-π/2
    2.45922184892992-1.57079632675     		φ = 0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17000 KachelY 10984 0.11811652 0.88842552 6.767578 50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 17001 KachelY 10984 0.11830827 0.88842552 6.778565 50.903033
    Unten links KachelX 17000 KachelY + 1 10985 0.11811652 0.88830459 6.767578 50.896104
    Unten rechts KachelX + 1 17001 KachelY + 1 10985 0.11830827 0.88830459 6.778565 50.896104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88842552-0.88830459) × R
    0.000120930000000019 × 6371000     		dl = 770.445030000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88842552-0.88830459) × R
    0.000120930000000019 × 6371000     		dr = 770.445030000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11830827) × cos(0.88842552) × R
    0.000191749999999991 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 770.408138387122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11830827) × cos(0.88830459) × R
    0.000191749999999991 × 0.630728576558529 × 6371000     		du = 770.522785220491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88842552)-sin(0.88830459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630728576558529)×R²
    abs(0.11830827-0.11811652)×9.38467173261515e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38467173261515e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38467173261515e-05×40589641000000     		ar = 593601.286556479m²