Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17007 / 10943
↖ ↑ ↗
← N 51.186230°
E  6.844482°		 ← 765.71 m → N 51.186230°
E  6.855469°		 →
↑
765.79 m
↓
↑
765.79 m
↓
N 51.179343°
E  6.844482°		 ← 765.83 m →
586 422 m²		 N 51.179343°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519027709960938 y=0.333969116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519027709960938 × 215)
    floor (0.519027709960938 × 32768)
    floor (17007.5)     		tx = 17007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333969116210938 × 215)
    floor (0.333969116210938 × 32768)
    floor (10943.5)     		ty = 10943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17007 / 10943 ti = "15/17007/10943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17007/10943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17007 ÷ 215
    17007 ÷ 32768     		x = 0.519012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10943 ÷ 215
    10943 ÷ 32768     		y = 0.333953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519012451171875 × 2 - 1) × π
    0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333953857421875 × 2 - 1) × π
    0.33209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0432986833309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11945875} λ = 0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0432986833309))-π/2
    2×atan(2.83856511509172)-π/2
    2×1.23208228271926-π/2
    2.46416456543852-1.57079632675     		φ = 0.89336824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89336824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.186230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17007 KachelY 10943 0.11945875 0.89336824 6.844482 51.186230
    Oben rechts KachelX + 1 17008 KachelY 10943 0.11965050 0.89336824 6.855469 51.186230
    Unten links KachelX 17007 KachelY + 1 10944 0.11945875 0.89324804 6.844482 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 17008 KachelY + 1 10944 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89336824-0.89324804) × R
    0.000120200000000015 × 6371000     		dl = 765.794200000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89336824-0.89324804) × R
    0.000120200000000015 × 6371000     		dr = 765.794200000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11945875-0.11965050) × cos(0.89336824) × R
    0.000191750000000004 × 0.626791097030668 × 6371000     		do = 765.712605683241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11945875-0.11965050) × cos(0.89324804) × R
    0.000191750000000004 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 765.827016830057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89336824)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626791097030668-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11965050-0.11945875)×9.36537908521329e-05×R²
    0.000191750000000004×9.36537908521329e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.36537908521329e-05×40589641000000     		ar = 586422.080701481m²