Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17011 / 10945
↖ ↑ ↗
← N 51.172455°
E  6.888427°		 ← 765.94 m → N 51.172455°
E  6.899414°		 →
↑
765.99 m
↓
↑
765.99 m
↓
N 51.165567°
E  6.888427°		 ← 766.06 m →
586 744 m²		 N 51.165567°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519149780273438 y=0.334030151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519149780273438 × 215)
    floor (0.519149780273438 × 32768)
    floor (17011.5)     		tx = 17011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334030151367188 × 215)
    floor (0.334030151367188 × 32768)
    floor (10945.5)     		ty = 10945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17011 / 10945 ti = "15/17011/10945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17011/10945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17011 ÷ 215
    17011 ÷ 32768     		x = 0.519134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10945 ÷ 215
    10945 ÷ 32768     		y = 0.334014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519134521484375 × 2 - 1) × π
    0.03826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12022574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334014892578125 × 2 - 1) × π
    0.33197021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04291518813394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12022574} λ = 0.12022574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04291518813394))-π/2
    2×atan(2.83747674770899)-π/2
    2×1.2319620790742-π/2
    2.46392415814841-1.57079632675     		φ = 0.89312783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12022574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.888427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89312783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.172455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17011 KachelY 10945 0.12022574 0.89312783 6.888427 51.172455
    Oben rechts KachelX + 1 17012 KachelY 10945 0.12041749 0.89312783 6.899414 51.172455
    Unten links KachelX 17011 KachelY + 1 10946 0.12022574 0.89300760 6.888427 51.165567
    Unten rechts KachelX + 1 17012 KachelY + 1 10946 0.12041749 0.89300760 6.899414 51.165567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89312783-0.89300760) × R
    0.000120229999999943 × 6371000     		dl = 765.98532999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89312783-0.89300760) × R
    0.000120229999999943 × 6371000     		dr = 765.98532999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12022574-0.12041749) × cos(0.89312783) × R
    0.000191750000000004 × 0.626978403345483 × 6371000     		do = 765.941426429191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12022574-0.12041749) × cos(0.89300760) × R
    0.000191750000000004 × 0.627072062388554 × 6371000     		du = 766.055843992325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89312783)-sin(0.89300760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626978403345483-0.627072062388554)×R²
    abs(0.12041749-0.12022574)×9.3659043071348e-05×R²
    0.000191750000000004×9.3659043071348e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.3659043071348e-05×40589641000000     		ar = 586743.718077966m²